从许文强与冯敬尧的生死决斗想起

husonghu

记得在《上海滩》里有这么个情节：许文强与冯敬尧两人约定用一支左轮手枪作生死决斗（两人轮流开一枪，直到一人被打中为止）。丁力持另一枪在旁做监督兼裁判（可能是决斗的双方谁犯规就马上打死谁），在决斗的左轮枪里只上一颗子弹，抽签后冯先打，步骤如下：

1.       第一枪，冯对着许先打，冯有点得意，但结果是空弹一枪。

2.       第二枪，轮到许对着冯打，冯紧张，但结果也是空弹一枪。

3.       第三枪，轮到冯对着许打，冯又有点得意，但结果又是空弹一枪。

4.       第四枪，轮到许对着冯打，冯更紧张，但结果又是空弹一枪。

5.       第五枪，轮到冯对着许打，冯更有得意之态，但结果又是空弹一枪；马上，冯转为彻底绝望之态。

6.       第六枪，轮到许对着冯打，许胜券在握，冯求饶让许放他性命，许不为所动，一枪打中冯脑门致死。

第一，  我不懂枪，对上述过程的理解只是我自己的猜想（先不说）。请懂的朋友解释上述过程。

第二， 从概率论的角度，这种决斗中，两人中，谁的生存几率大些？两人的生存几率各是多少？

salmonfish

这不是正确的“决斗"方式!
没学过概率论（没上过大学）。但是凭直觉，第二个挨枪的人吃亏太大。
第一轮（1/6 vs 1/5);
第二轮 (1/4 vs 1/3);
第三轮 (1/2 vs 1/1）
如果弹匣只有六个弹仓的话。(好像左轮都是七个弹仓---七星枪!)
正确的决斗方式是每次扣完扳机，都要重新将弹匣随机旋转一下，以保证下一枪跟前一枪有同样的”发射概率“。

cabbage=白菜？

支持 salmonfish 凭直觉行事。如果
1. 两人枪法都可以，有子弹就一定打中对方脑门。
2. 两人同时打第一枪，如果都没有子弹，同时打第二枪，。。。
生存几率应该一样。
但情节里每一轮都是冯先打，当然许的生存几率小得多了。

建议下次冯许决斗添加些不确定因素，例如确保双方都不知道子弹在哪个洞，第一轮抽签先打，以后各轮轮流先打。

开开心心

如《上海滩》，理论先打 生存概率 大一些

对剧、电影；十之八、九，后打，生存概率 100%

红珊瑚

俺不懂枪，也没学过概率论，俺搬个小板凳来坐着听你们讨论

husonghu

好象还没有人给出较全面和较确切的讨论啊.

LHS

设k为弹仓个数，但仅一个弹仓有子弹。
假定k是偶数，例如，k=6，且冯许两人枪法极佳，只要所用弹仓有子弹就一定一枪命中对方要害，那么这样的决斗是公平的。用概率论中的条件概率可以计算出在第一轮中（头两枪）冯许两人击毙对方的概率都是1/k。事实上，冯击毙许的概率是1/k而许击毙冯的概率是（1-（1/k））（1/（k-1））=1/k。在第二轮中，概率都是1/（k-2)。第三轮中，都是1/（k-4)。 ......直到第k/2论都是1/2。
当弹仓数是奇数时，冯（第一个开枪的）就占了便宜，因为在前（k-1)/2轮中全都开空枪时，轮到冯开最后一枪，这时一定击毙许，而许无还手机会。
但若两人枪法相当但都不十分准，当有6个弹仓时，在这样的安排下，第一个开枪的要吃点亏，他们的存活率之比是1比（6-p)/5，其中p是两人共有的命中率。
其余情况，可作类似推断。

cabbage=白菜？

不管信上帝还是信进化论，凭直觉行事多数是对的！否则人类怎样延续至今啊？当然先开枪合算啦。
如果对上帝还是对进化论都不信，算一下吧。假设 k 为弹仓个数，只有一个弹仓有(一粒)子弹。
第一轮：
先开枪者击中后开枪者的几率是 1/k ，后开枪者生存的几率是 1-1/k，后开枪者活下来并击中先开枪者的几率是 (1-1/k) x 1/k = (1-1/k) / k。所以，先开枪者生存的几率是 1-(1-1/k) / k
当 k = 6 时，
先开枪者生存的几率是 1-(1-1/k) / k = 31/36，
后开枪者生存的几率是 1-1/k = 5/6 = 30/36，小于先开枪者生存的几率。
其它各轮：
。。。。。。

LHS

你的“后开枪者活下来并击中先开枪者的几率是（1-1/k)x1/k”有误，它应为（1-1/k)/（k-1）=1/k，因为这已是第二枪了（已经排除了一个空弹仓。

另有一个途径可用来说明当k是正偶数、命中率为100%时这种决斗安排是公平的：
从1到k这k个正整数中随机地抽取一个数，得奇数代表冯在该次开枪时有子弹，得偶数代表许在该次开枪时有子弹。例如，掷骰子（k=6)一次，得4表示许在第二轮中击毙冯，而得5表示在第三轮中冯击毙许。易见，在这样的决斗中必有一人被击毙，是冯还是许，其概率都是1/2。
其实，这样的“决斗”毫无技术可言，完全是“生死抓阄”。谁生谁死，是由冯第一次开枪时那颗子弹在哪个弹仓所完全决定的。

cabbage=白菜？

LHS 发表于 2015-5-17 09:59
你的“后开枪者活下来并击中先开枪者的几率是（1-1/k)x1/k”有误，它应为（1-1/k)/（k-1）=1/k，因为这已是 ...

两个人决斗共用一支手枪？如果是的话，的确机会均等：子弹在哪个洞的可能性都是1/6。

husonghu

cabbage=白菜？ 发表于 2015-5-17 11:07
两个人决斗共用一支手枪？如果是的话，的确机会均等：子弹在哪个洞的可能性都是1/6。
...

是用同一把枪. 总共6个弹仓,要是两把枪的话,第6次的开枪,冯不一定死.

salmonfish

LHS 发表于 2015-5-17 03:13
设k为弹仓个数，但仅一个弹仓有子弹。
假定k是偶数，例如，k=6，且冯许两人枪法极佳，只要所用弹仓有子弹就 ...

虽没学过概率论，直觉也会告诉俺这里有问题。
如第一轮，在未开第一枪之前，在没有任何已知条件的情况下，子弹在第一弹仓和第二弹仓（其实每个弹仓）的几率应该一样。但是，当第一枪打出后发现第一弹仓是空弹仓这一信息（条件）明确后，难道子弹在第二弹仓的几率还是跟没有这个条件时一样吗？

LHS

salmonfish 发表于 2015-5-17 13:54
虽没学过概率论，直觉也会告诉俺这里有问题。
如第一轮，在未开第一枪之前，在没有任何已知条件的情况下 ...

白菜说得好，子弹在6个弹仓的哪一个中，其概率都是1/6。这才是正确的“直觉”。鱼兄你说的条件概率确实是不同于原先的无条件概率。它已从1/6变成1/5。但别忘了，实现这“条件”（第一枪空）的概率是5/6。这两者的乘积仍然是1/6。
数学公式：P(A与B)=P(B|A)xP(A), 其中A是事件“冯的第一枪是空的”，B是事件“随后许的一枪击毙冯”，P(B|A) 代表“在A已发生的条件下，B发生的概率”。

salmonfish

LHS 发表于 2015-5-17 22:07
白菜说得好，子弹在6个弹仓的哪一个中，其概率都是1/6。这才是正确的“直觉”。鱼兄你说的条件概率确实 ...

"但别忘了，实现这“条件”（第一枪空）的概率是5/6。这两者的乘积仍然是1/6。"
虎兄说的是在击发第一枪前，第二位挨枪击的几率。但是，一旦第一枪击发后，而且知道它是空枪，“（第一枪空）的概率”就不是5/6了，而是1/1！ 在这时(100%已知第一枪为空枪），第二位挨枪的几率就纯是 1/5.

如果把许和冯分别关在两个没有信息交流的房间里，还是用同一把枪，由第三人扣扳机。第一枪后，冯不知许的死活。这时当冯面对枪口时，他死的几率才应该是1/6, 如你所说。

也可以这样说，第一轮当冯举枪对准许时，在他扣扳机前，他和许的死亡几率一样（1/6).  而当许发现第一枪是空枪，他在第一轮的死亡几率就上升到了1/5.

salmonfish

以前好像讨论过一个类似的题。好像是在三个门后有一个大奖，三个人（站在一起）去开门摸奖。
如果每人预先各选一个门号，同时开门。这样每人的得奖机会均等（1/3)。
如果三人是依次上前开门摸奖，那么，.....
（忘记结果了！）

LHS

salmonfish 发表于 2015-5-17 19:32
"但别忘了，实现这“条件”（第一枪空）的概率是5/6。这两者的乘积仍然是1/6。"
虎兄说的是在击发第一枪前 ...

看不懂鱼兄想说什么。
建议鱼兄考虑以下简单情况（实际上就是原题的第三轮）：一把枪有两个弹仓，但只有一颗子弹，谁也不知道这子弹在这两个弹仓的哪一个中。冯先对许开一枪，若是空枪，再由许对冯开枪。现在决斗还没开始，请鱼兄说说冯许两人决斗后的生死概率如何。是冯必死吗？

salmonfish

LHS 发表于 2015-5-17 23:23
看不懂鱼兄想说什么。
建议鱼兄考虑以下简单情况（实际上就是原题的第三轮）：一把枪有两个弹仓，但只 ...

知道了！ 我误把问题看成是每扣一次扳机，每人挨枪（死亡）的几率，而不是整个决斗下来后两人的生存几率啦（生存的几率太显然了，你死我活，我死你活)。

NuBHH

情节胡兄记错了: 1. 是两人各对自己脑门开枪, 2. 是许文强第一个用枪.

LHS

NuBHH 发表于 2015-5-19 23:12
情节胡兄记错了: 1. 是两人各对自己脑门开枪, 2. 是许文强第一个用枪.

那也公平。
这样的话，看来轮到冯开第六枪时，得由裁判来帮忙了。

NuBHH

LHS 发表于 2015-5-19 23:45
那也公平。
这样的话，看来轮到冯开第六枪时，得由裁判来帮忙了。  ...

许文强抠完第5次后没有把枪还冯, 直接毙了冯, 而此时冯程程刚好进来看到.

husonghu

谢谢NuB兄更正, 我也想起来了, 确实如你所说.

正如上述大家已提到的,这种决斗方式从概率上说是公平的. 看来冯不懂概率论,直觉觉得他后被打的占点便宜, 其实不然. 两人的命运从一开始,子弹随机地上到某个弹仓时就定了: 1,3,5 之一就是许文强死, 2,4,6 之一就是冯敬尧死, 几率各是1/2. 从心理压力上说,是后被打的人更亏: 面对第6枪必死无疑的子弹,那是何等大的心理压力; 反而先被打的那个,即便到第5枪被打死, 死前都可以存有一丝希望: 子弹可能不在第5仓,而是在第6仓. 这样看来,这种决斗,还是抽签到先被打的那个好一些.

三文兄在2楼提到的决斗方式(每次扣完扳机，都要重新将弹匣随机旋转一下，以保证下一枪跟前一枪有同样的"发射概率"), 其实反而不公平. 那是先被打的人吃亏一点, 后被打的人赚一点.