囚徒抓豆子 修改版之一

husonghu

如前题，5个囚犯，依次按1-5号在装有总数100颗豆子的袋里抓豆子，规定每人至少抓一颗，至多不能超过让剩余的囚犯无豆子可抓的地步。抓得最多和最少的人将被处死，抓得重复（任何数）的两人或多人也一并处死。他们之间不能交流，但在抓的时候，可以摸出剩下的豆子数。Now, 假设for whatever reason, 1号抓了22颗，问最可能的结局是什么？并详细说明是如何达到这个结局的。

已知接下去的4个囚徒是：

1.  他们都是很有聪明头脑的人。

2.  他们的原则是尽量求自保，不会舍己救人。

3.  100颗豆子不一定都分完。

红珊瑚

Ok, 1号拿了22颗，2号一定是21颗。3号一看拿走43颗，知道是22和21,他会拿20颗，因为知道4号一定会拿19颗自保，因为5号只省下18颗，不具备跟任何人撞车的能力，19颗可以安全自保。
结果是2,3,4号得救。

husonghu

红珊瑚 发表于 2015-5-1 19:22
Ok, 1号拿了22颗，2号一定是21颗。3号一看拿走43颗，知道是22和21,他会拿20颗，因为知道4号一定会拿19颗自 ...

珊瑚MM好聪明。

对，1号取了22，对2、3、4号来说是千载难逢的好机会，这三人只要自己不犯错，必定能保命，谁都阻挡不住。首先，2号摸到1号取了22时应该高兴坏了，2号取21。接着3、4号取时绝对不能用原先“挤平均数”的原则（大家撞车在一起），而是依次取20、19. ---- 这样三人稳稳当当保命。关键是这三人要有预见性：从一开始摸豆子数就预见到自己必定能活命，从而千万不要出错。 (2、3、4号能稳稳当当保命的关键，是逼5号进入豆子数最少的绝境：只剩18死路一条，想与前面的人撞车都不可能）。

但是，如果2、3、4号这三人中有任何一人出错，那将害人也害己，最后还是可能会死在一起。比如，2号最好取21，取20也没事（从总数42，聪明的3号还是能判断出前两人分别取了22和20），但如果2号得意忘形取了19，那就会引起3、4号的误解并取错，导致枉死。

salmonfish

当一号抓取22颗豆豆时，显然是犯了一个初级大傻（几乎是必死）。而这已经与题目中的条件1相悖了。

husonghu

salmonfish 发表于 2015-5-2 03:26
当一号抓取22颗豆豆时，显然是犯了一个初级大傻（几乎是必死）。而这已经与题目中的条件1相悖了。 ...

呵呵， 所以我把1号排除在题目中的条件之外了，而是说for whatever reason 1号就是这样做了。

salmonfish

husonghu 发表于 2015-5-2 08:42
呵呵， 所以我把1号排除在题目中的条件之外了，而是说for whatever reason 1号就是这样做了 ...

So, #1 is sacrificing himself in trying to save #2,#3,#4, but not #5. ( Again, this is in contrst to Rule #2!)

If #1 wants to confuse others and tries to bring someones to die with him, he shall have picked a number smaller than 20.

husonghu

salmonfish 发表于 2015-5-2 07:38
So, #1 is sacrificing himself in trying to save #2,#3,#4, but not #5. ( Again, this is in contrst  ...

题目的本意不是在1号，而是在2、3、4号（如何调整思维抓住好机会）。

至于1号为何会如此，是题外话，可以有许许多多原因，说他犯傻最容易，说他是强盗头子想保存尽量多实力为复仇也可。反正已经把他排除在条件之外（已知接下去的4个囚徒是：。。。。）

红珊瑚

我觉得这个case是个很好的反例，对于理解为什么1号要选小于20的数才能达到多害人的目的。
我的理解是当1号选小于20的数，其本质实际上是给与所有的人自杀炸弹，也即撞车的权力。当人不能自保时就
会使用炸弹。所以选小于20时就全都会报销。
而当1号选大于20的数时，就剥夺了某些人尤其是后面几位拥有自杀炸弹的权力，所以杀伤力小于
所有人都拥有炸弹。

salmonfish

红珊瑚 发表于 2015-5-2 22:47
我觉得这个case是个很好的反例，对于理解为什么1号要选小于20的数才能达到多害人的目的。
我的理解是当1号 ...

当#1选择小于20时，感觉后面的人不一定全“必死”。有全死的可能，但也有生存的希望。

红珊瑚

salmonfish 发表于 2015-5-4 04:48
当#1选择小于20时，感觉后面的人不一定全“必死”。有全死的可能，但也有生存的希望。
...

三文GG能给一个这样的例子吗？ 1号选一个20以下什么数能让2,3,4,5号在没人犯傻的情况下能有人得救? 犯傻不算哦，要象这贴的例子一样，没人犯傻却活了3个人。你能给出哪怕是一个人能活就可以了。

salmonfish

红珊瑚 发表于 2015-5-4 22:35
三文GG能给一个这样的例子吗？ 1号选一个20以下什么数能让2,3,4,5号在没人犯傻的情况下能有人得救? 犯傻不 ...

刚游玩回来，等缓过来了再答复您。
另，就是不知道hu兄是否还有之二，之三等要贴出来。不想搅乱了hu兄的序列贴。

husonghu

salmonfish 发表于 2015-5-7 20:35
刚游玩回来，等缓过来了再答复您。
另，就是不知道hu兄是否还有之二，之三等要贴出来。不想搅乱了hu兄的 ...

还有一个修改版。三文兄有东西先贴，不会乱的（标题总是可以变的：若你有个之二，那我接着可叫之三）。

salmonfish

不好意思了，耽误了这久才回帖。

对于给定的条件：

1.  他们都是很有聪明头脑的人。

2.  他们的原则是尽量求自保，不会舍己救人。

3.  100颗豆子不一定都分完。

我理解：

条件1.    5 个囚犯都很聪明。一人能想到的所谓“策略”，其他人也都应该能想到。

条件2.    “他们的原则是尽量求自保，不会舍己救人。”对于囚犯来说， 这似乎是一个很宽松，“道德标准很高”的条件。“尽量求自保，不会舍己救人”---在尽量自保的前提下，不为拯救他人而有意牺牲自己，把自己从安全境况转变成“必死”境况。（不妨称该条件为“弱弱条件”）

显然，这里没有排除下列情形的可能性，即在自身难保时，是否有人会加害于他人?  一种可能是大家都很义气，在自身难保的情形下不会加害他人（称其为弱条件）。另一种可能是在自身难保时，也许会加害他人（中性条件）。最后一种可能是每个人在确定自身难保的情形下肯定会加害他人（强条件）。

条件3.    如题。

分析：

1）在Hu兄的特例中，当#1取数为22时（自明是在舍己救人），其他每个不舍己救人的聪明人都知道了自己的归宿。最痛苦的是#5，即使在自身难保的情形下，也无能为力去加害他人。

2）当#1取21颗豆子时，因为#2，#3，#4都是聪明人，没有人会去选择22颗豆子而变成最大数。#2也不会犯傻（舍己救人），去选择远远小于21的数（正如红珊瑚MM分析的那样，）。这样，#2取20。同理，#3取19，#4取18，最后留给#5的豆数应该为22.  不管#5怎么选，他都将必死无疑。在自身难保的情形下，他会做出什么选择？那就要根据上述的不同（强弱）条件来分析了。根据不同的条件，存活的人数可能不等！

*在弱条件下（在自身难保的情形下，义气为重，不会加害他人）：#5将会选取17(或更小），或22，使自己变成最小，或最大。这样#2，#3存活，而#1和#4两人中只能有一人存活。总共三人存活。

*在强条件下：#4在选数时就已经知道后面自身难保的#5肯定会加害他人，从而自己也必死。所以#4也肯定要加害于他人。在他以前，#1和#3分别为最大和最小，已必死，而#2夹于其中。故#4取20加害于#2。这时不管#5取什么数大家都必死，无一人存活！

*中性条件下：必死的#5也许会（也许不会）加害于人（假设50%/50%的可能性）。#4该怎么选数？如果#4选择加害于他人，选择#2的豆数（因为#1和#3已知必死），那#4则必死无疑。如果#4不加害于他人，选择豆数18，他仍有1/4存活机会。所以说，对于仍抱有一线存活机会的#4，他不应该去害人。

这样，当#5取数17（或更小），或22,  不害人时（50%可能性），将会有三人存活。

而当#5要害人时（50%可能性），他只能取夹在其中#2和#3中一个人的豆数（#1和#4这时必死，无受害不受害之说）。所以这时#2和#3中有一人存活。

3）#1取数等于1时与Hu兄的特例#1取数22时结果相仿，也会有三人存活。

4）#1取数等于2时与上述的 #1取数21时（case  2）结果相仿.

5）这样，俺认为在上述各种可能的条件下，#1 应该会选取一个最能导致#2号和其他后继人员困惑，且使自己的豆数最有可能出现在数组中间的数目。这个数目应该是10，或在10附近。

假设#1选取了10颗豆子（留给随后#2，#3，#4两个等价，但不同的取数方向，以此来减小自己最后成为最大，最小的可能性。）

那么，根据弱弱条件2--不舍己救人，#2 号 不应该犯傻，即不应该选取一个数使得自己最后可能成为最大，或最小。#2选的数最好应该与10相连。只有这样才能使后面的#3， #4的豆数不可能夹在#2和#1的选数之间而处于暂时的安全位置。所以，#2所选的豆数应该是9，或11.  （需要指出的是根据条件1，#2在选数的时候应该也很清楚后面#3的选数方法）

#3根据袋中所剩的豆数，知道#1和#2的豆数总和为19, 或21，这时，#3应该以#1和#2的豆数（取19为例）的平均值9.5为基准来选取自己的豆数。因为9.5不是一个整数，#3可以取数9.5+/-1.5=8/11. 这样#3暂时为最大，或最小, #3就把希望寄托在后面#4和#5的选数。如果后面的#4和#5都只按照条件2 中的弱条件来选数，那么#3将会有两次，每次1/2的希望变成非最大，或非最小。

同理，#4选取已取豆数的平均值+/-2为自己的豆数。这样，#4就把希望寄托在后面#5的选数。如果#5也按照条件2 中的弱条件来选数，那么#4将会有1/2的希望存活。

不管#5选什么数，必死无疑。所以说，在#5自身难保时也不害人的前提下，存活人数跟case 2) 弱条件时一样（三人活）.

根据与case2)同样的分析

在#5自身难保时也许会害人的前提下（#4仍有存活的希望，不会去害人），存活人数跟case 2) 中性条件时一样（一人活）.

在#5，#4自身难保时肯定要害人的前提下，存活人数跟case 2) 强条件时一样（无人活）.

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最后综合起来看，除了特例case 1）和case 3），一般来说#4在仍有一线生存的条件下，不要去害人。若害人，他必死。这样，不管#5是否害人，至少会有一人存活。

husonghu

三文兄的分析很全面，涵盖了几种不同状况，受益了。

我想此题的原意是三文说的“强条件”那种，即明知大家都往“平均数”上挤是大家都死的结局，还是只能如此，象是人人在斗气。但仔细想想，人死一了百了，斗气又有什么意思呢？还不如取“中性条件”试试，不仅是给人家一线生的希望，也是给自己留一线生的希望。同理，明知大家都往“平均数”上挤是大家都死，那偏开平均数，用以迷惑人家出错也值得一试。