硬币题

HF: · 发表于 2012-3-19 12:55:57

抛一硬币（正反概率各1/2），你可以决定何时停止。一旦停止，你得到的奖励为K/N，这里，N是停止时总抛币数，K是其中正面的次数。
问：如何决定何时停止使得你的平均所得最多？

pf_123456 · 发表于 2012-3-21 01:40:30

1. If 1^st = 1, then stop. If 1^st = 0 then continual.www.ddhw.com

2. If 2^nd = 0 then continual; if 2^nd = 1 then continual too, because 50% chance to get 2/3.www.ddhw.com

3. A: If 2^nd = 0 and 3^rd = 0, then continual; B: if 2^nd = 0 and 3^rd = 1 or 2^nd = 1 and 3^rd = 0 then continual because the expected value = 3/8 > 1/3. C: If 2^nd = 1 and 3^rd = 1 then stop because the expected value = 5/8 < 2/3.www.ddhw.com

4. Keep doing on this way until you get more than ½.

HF: · 发表于 2012-3-21 04:32:56

...if 2^nd = 0 and 3^rd = 1 or 2^nd = 1 and 3^rd = 0 then continual because the expected value = 3/8 > 1/3...

why expected value = 3/8 here?

原贴：

文章来源: pf_123456 于 2012-3-20 17:40:30 (北京时间: 2012-3-21 5:40:30)
标题：whenever you get more than half, then stop

1. If 1^st = 1, then stop. If 1^st = 0 then continual.www.ddhw.com

2. If 2^nd = 0 then continual; if 2^nd = 1 then continual too, because 50% chance to get 2/3.www.ddhw.com

3. A: If 2^nd = 0 and 3^rd = 0, then continual; B: if 2^nd = 0 and 3^rd = 1 or 2^nd = 1 and 3^rd = 0 then continual because the expected value = 3/8 > 1/3. C: If 2^nd = 1 and 3^rd = 1 then stop because the expected value = 5/8 < 2/3.

4. Keep doing on this way until you get more than ½.

fov22 · 发表于 2012-3-21 13:18:20

赞同pf的结论，

但是理由粗略的想了一下，要是奖励没到1/2 继续玩，根据大数定理（strong law of large numbers），最后出现超过或者等于1/2的概率为1.

要是在某刻的奖励m/n>1/2, 那么接下来的期望是m+K/n+2K 对于任何接下来的K次投币，应该可以观察出这个期望总是小于m/n 的，所以应该停止

HF: · 发表于 2012-3-22 05:48:31

“要是在某刻的奖励m/n>1/2, 那么接下来的期望是m+K/n+2K 对于任何接下来的K次投币”

没这么简单。因为“接下来”，你还可以选择何时停止，而不是固定再投K次币。

原贴：

文章来源: fov22® 于 2012-3-21 5:18:20 (北京时间: 2012-3-21 17:18:20)
标题：回复：whenever you get more than half, then stop

赞同pf的结论，

但是理由粗略的想了一下，要是奖励没到1/2 继续玩，根据大数定理（strong law of large numbers），最后出现超过或者等于1/2的概率为1.

要是在某刻的奖励m/n>1/2, 那么接下来的期望是m+K/n+2K 对于任何接下来的K次投币，应该可以观察出这个期望总是小于m/n 的，所以应该停止

biomence · 发表于 2012-3-25 16:44:47

这题是想钓出5毛党来吗？

fov22 · 发表于 2012-3-31 04:11:15

你有答案么说出来听听。

学生 · 发表于 2012-4-10 06:01:07

这是一个涉及随机游动的问题。只能说“在第一次出现正面时就打住”（得到的奖励为1）；但当第一次出现反面时，就没有策略能保证达到“最优”（就象开区间(0, 1)中没有最大的数那样）。

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这题是想钓出5毛党来吗？[:-Q]

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