平面上八点

学生 · 发表于 2009-5-31 19:56:05

试证明平面上不存在八点，使得其中任三点中必至少有两点的距离恰为１。

...... · 发表于 2009-6-4 12:30:52

设A, B, C, D, E, F, G, H 是平面上满足题目条件的八个点, 且AB不等于1.

分别以A, B为圆心作单位圆, 记作圆A和圆B. 则C, D, E, F, G, H六点均落在圆A或圆B上.

以下证明这六个点在两圆上的各种分配6-0, 5-1, 4-2, 3-3均不能满足题目条件即可.

...... · 发表于 2009-6-5 08:52:37

5-1, 6-0分配情形: C, D, E, F, G五点依次在圆A上. 这5点形成10条弦, 长度等于1的弦最多4条, 就是说, 至少有6条弦长度不

是1. 若要这5点6弦不围成三角形, 6条弦只能是FC, CD, DE, EF, FG, GD的次序. 其它4条弦是: DF=CE=EG=CG=1.

即C, E, G构成单位圆内接边长是1的等边三角形, 这是不可能的. 若有7条以上长度不为1的弦, 则7弦5点一定会围出三角形.

与假设任意三点存在两点距离为1的前提相矛盾.

因此可以得出5点共圆不成立. 于是5-1, 6-0分配不成立了.

xjwlbt · 发表于 2010-9-13 03:03:06

1、相临的3个点必然构成等边三角形

2、除一个点为园心外，其余的点共园，切相临点距与半径相同，只能等分园为6边形时相临点间的弦长与半径相同

3、所以园上6个点与园心点共7个点可以满足题目的条件。

冷眼看戏的Lili · 发表于 2011-8-11 08:10:21

学生 · 发表于 2011-9-29 00:23:29

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