证明："费尔马大定律". 高手们来敲砖啦。[:>][:>]

salmonfish · 发表于 2009-1-18 18:57:46

看了try兄的帖子，正好闲来无事（由于下雪高尔夫球场都关了），于是，一张纸加一只笔，也试着来掘掘金。结果出来后（吓得出了一身冷汗）揣在怀里好几天，不敢贴上来。自己反复检查多次，不见“明显漏洞”。“脑瘫”（脑坛）能人多，故将结果斗胆贴上来，准备挨砖。

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证明：不存在正整数x, y, z 满足xⁿ + yⁿ = zⁿ (整数n ≥ 3) ----"费尔马大定律”

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a). 设存在三个正整数x, y, z , 且 x = y = z, 满足 xⁿ + yⁿ = zⁿwww.ddhw.com

则有， 2xⁿ = xⁿ, 故，xⁿ =0 www.ddhw.com

x = y = z = 0

与所给条件相矛盾。

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b) 设存在三个正整数 x, y, z (x ≠ y, x = z) 满足 xⁿ + yⁿ = zⁿwww.ddhw.com

则，yⁿ = zⁿ – xⁿ = 0, 故，y = 0

与所给条件相矛盾www.ddhw.com

（同理对三个正整数 x, y, z (x ≠ y, y = z)

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c) 设存在三个正整数 x, y, z , 且x = y ≠ z, 满足 xⁿ + yⁿ = zⁿ

则，2xⁿ = zⁿ

z = 2^1/n xwww.ddhw.com

因为2^1/n （n ≥ 3）是无理数（见所附证明），x 为正整数，z 则为无理数。

与所给条件相矛盾www.ddhw.com

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d) 设存在三个正整数 x, y, z , 且x ≠ y ≠ z, 使得 xⁿ + yⁿ = zⁿ.www.ddhw.com

因为 x, y, z 为不相等正整数, 必存在整数 a, 使得 x +y = z + awww.ddhw.com

同乘 (xyz)^m,得：

x^m+1(yz)^m + y^m+1(xz)^m = z^m+1(xy)^m + a(xyz)^mwww.ddhw.com

代入 z^m+1 = x^m+1 + y^m+1，有：www.ddhw.com

x^m+1[(yz)^m – (xy)^m ] + y^m+1[(xz)^m - (xy)^m] = a(xyz)^m

x^m+1y^m(z^m – x^m ) + y^m+1x^m( z^m - y^m) = a(xyz)^mwww.ddhw.com

x^my^m[x(z^m – x^m ) + y( z^m - y^m)] = a(xyz)^m

x^my^m(xy^m + yx^m) = a(xyz)^mwww.ddhw.com

xy(y^m-1 + x^m-1) = az^m

xyz^m-1= az^mwww.ddhw.com

所以有：xy=az.

因为 x +y = z + a，即 z = (x +y) -awww.ddhw.com

代入 xy=az，得：

xy = a (x + y) –a²www.ddhw.com

所以得 a 的一元二次方程 a² – a (x + y) + xy = (a – x)(a – y) = 0. www.ddhw.com

有根：(1) a = x; (2) a = y。www.ddhw.com

代入根 a = x 于 x +y = z + a 中，得 y = z. 与条件 x ≠ y≠ z 相矛盾www.ddhw.com

代入根 a = y 于 x +y = z + a 中，得 x = z. 与条件 x ≠ y≠ z 相矛盾www.ddhw.com

所以，不存在整数 a 使得 xⁿ + yⁿ = zⁿ 对三个正整数 x, y, z （x ≠ y≠ z）成立。

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所以，不存在正整数x, y, z 满足xⁿ + yⁿ = zⁿ (整数n ≥ 3)www.ddhw.com

证毕。

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附：证明2^1/n （n ≥ 2）是一个无理数。www.ddhw.com

假设2^1/n （n ≥ 2）是一个有理数.www.ddhw.com

则存在不可约整数 a 和b，使得2^1/n = a/b. www.ddhw.com

那么，2 = aⁿ/bⁿ 或 2bⁿ = aⁿ. 有：aⁿ = 偶数。www.ddhw.com

则，a 必为偶数。因为奇数的 n 次方总还是奇数。www.ddhw.com

设，a = 2d. 那么，aⁿ = 2ⁿ dⁿ. 有：bⁿ = 2^n-1dⁿwww.ddhw.com

即，bⁿ= 偶数。同上理，b 必为偶数.www.ddhw.com

至此，a 和b 有公约数 2，www.ddhw.com

与 “a 和b 为不可约整数”相矛盾。www.ddhw.com

所以，2^1/n （n ≥ 2）是一个无理数

证毕。

asdfasdf · 发表于 2009-1-18 23:03:51

You seem to assume that for the given set of (x,y,z), x^n + y^n = z^n is true for all other values of n, such as x^n-1+y^n-1=z^n-1. This looks like a flaw to me.

salmonfish · 发表于 2009-1-19 01:10:47

Joke.

husonghu · 发表于 2009-1-19 01:52:57

Joke 也可让大伙笑一笑呀

爱好者 · 发表于 2009-1-19 03:50:04

不错，非常好，学习了

一兵 · 发表于 2009-1-19 03:58:53

费尔马大定律——不存在正整数x, y, z 满足xⁿ + yⁿ = zⁿ (整数n ≥ 3)，是说对于 ≥ 3的整数n，

找不到满足xⁿ + yⁿ = zⁿ正整数x, y, z；当然等价于对于任意正整数x, y, z，找不到满足xⁿ + yⁿ = zⁿ

且≥ 3的整数n；

上述证明中d) 设存在三个正整数 x, y, z , 且x ≠ y ≠ z, 使得 xⁿ + yⁿ = zⁿ.的ｎ意思不明；

如果是存在整数ｎ ≥ 3，则不应有ｍ和m+1，同时认定满足xⁿ + yⁿ = zⁿ

^{如果n是≥ 3的任意整数，则无须证明（只须给出一例）}

爱好者 · 发表于 2009-1-19 03:59:19

d) 设存在三个正整数 x, y, z , 且x ≠ y ≠ z, 使得 xⁿ + yⁿ = zⁿ.www.ddhw.com

因为 x, y, z 为不相等正整数, 必存在整数 a, 使得 x +y = z + awww.ddhw.com

同乘 (xyz)^m,得：

x^m+1(yz)^m + y^m+1(xz)^m = z^m+1(xy)^m + a(xyz)^mwww.ddhw.com

代入 z^m+1 = x^m+1 + y^m+1，有：

x^m+1[(yz)^m – (xy)^m ] + y^m+1[(xz)^m - (xy)^m] = a(xyz)^mwww.ddhw.com

x^m+1y^m(z^m – x^m ) + y^m+1x^m( z^m - y^m) = a(xyz)^m

x^my^m[x(z^m – x^m ) + y( z^m - y^m)] = a(xyz)^mwww.ddhw.com

x^my^m(xy^m + yx^m) = a(xyz)^m

xy(y^m-1 + x^m-1) = az^m

xyz^m-1= az^mwww.ddhw.com

所以有：xy=az. www.ddhw.com

因为 x +y = z + a，即 z = (x +y) -awww.ddhw.com

代入 xy=az，得：

xy = a (x + y) –a²www.ddhw.com

所以得 a 的一元二次方程 a² – a (x + y) + xy = (a – x)(a – y) = 0. www.ddhw.com

有根：(1) a = x; (2) a = y。www.ddhw.com

代入根 a = x 于 x +y = z + a 中，得 y = z. 与条件 x ≠ y≠ z 相矛盾www.ddhw.com

代入根 a = y 于 x +y = z + a 中，得 x = z. 与条件 x ≠ y≠ z 相矛盾www.ddhw.com

所以，不存在整数 a 使得 xⁿ + yⁿ = zⁿ 对三个正整数 x, y, z （x ≠ y≠ z）成立。 ========================================================================== ==========有问题www.ddhw.com

salmonfish · 发表于 2009-1-19 05:49:55

对了。一旦用来作为条件，n就是一个任意，但是给定值。不是变量。

经管我换用了m, 试图把问题变得模糊一点， asdfasdf 还是一眼就看出来了。

色盲 · 发表于 2009-1-19 18:15:23

Hu兄又调皮了

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据说这世界是彩色的？

mofei · 发表于 2009-1-20 03:46:24

必存在整数 a, 使得 x +y = z + a这步有问题？

只需填入未经注册笔名 · 发表于 2009-1-20 07:01:33

值得鼓励。。发给脑筋一动Fields奖。

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哎呀。不能推荐呀。这是一个：

Joke 也可让大伙笑一笑呀[:-D][:-D]

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Hu兄又调皮了[:-K][:-K]

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