你是聪明的囚犯. 你被释放的几率为多少?

husonghu · 发表于 2008-7-18 08:52:27

某王国的某个监狱内有1000个囚犯. 某日国王想特赦这些囚犯，顺便考考这些囚犯的聪明程度，就把他们召集在一起，告诉他们说, 要给他们每人头上随机地戴一顶红色或蓝色的帽子，每个囚犯可以看见其他所有人头上的帽子，但看不见自己头上的帽子，然后让他们依次来国王面前猜自己头上的帽子是什么颜色，如果猜对的囚犯数目超过一半，则释放他们.

每个囚犯不知道别人猜了什么. 他们在猜前可以讨论策略. 假设囚犯们足够聪明. 请问囚犯们被释放的几率为多少? 策略是什么?

HF: · 发表于 2008-7-18 17:14:37

Sounds familiar, have we discussed this before?

One simple strategy is for the prisoner to bet the majority he sees, for example, if he sees 500 red hats and 499 blue hats, he should guess that his hat is red.

Probability of success: 1 - C(1000,500)/2^1000

动脑筋 · 发表于 2008-7-18 20:19:32

如果别人对你笑，你的帽子就是蓝色的。
如果别人对你皱眉，你的帽子就是红色的。

Your hat is blue if people smile when they see you

your hat is red if people frown when they see you.

冷眼看戏的Lili · 发表于 2008-7-18 21:25:57

“超过一半”是否包括“正好一半”？

孜孜不倦@. · 发表于 2008-7-18 22:25:24

www.ddhw.org---

heteler · 发表于 2008-7-18 23:58:10

题目意思有点歧义，猜前到底讨论什么？我们基于互相不能告诉对方自己看到具体多少顶颜色的帽子，不然一算就能算出来，基本是两个答案。
１。假如蓝色颜色超过５０１顶。

那必定有一个人能看到超过５０１顶蓝色帽子，只要有人说蓝色多，大家都猜蓝的就可以了。

２。如果正好每个颜色个５００顶，那就没有一个人会看到超过５００顶同一个颜色的帽子。自己看到的哪个少，就说哪个颜色就可以了

两种都是１００％

husonghu · 发表于 2008-7-19 03:08:02

一点投机取巧的可能性都没有.

husonghu · 发表于 2008-7-19 03:09:31

No.

husonghu · 发表于 2008-7-19 03:14:45

题意很清楚. 请你仔细想,答案就在其中.不用"有人说",你自己看到所有别人的(除你自己外).不能交流

husonghu · 发表于 2008-7-19 03:18:57

你的意思是事先说好猜某种颜色?这样的策略太粗糙了,没有好好利用这个能被释放的好机会

本贴由[husonghu]最后编辑于：2008-7-19 3:41:44

冷眼看戏的Lili · 发表于 2008-7-19 12:37:05

“ 随机地戴一顶红色或蓝色的帽子”中的“随机”的含义是什么？按什么概率分布？

本贴由[冷眼看戏的Lili]最后编辑于：2008-7-19 6:28:20

husonghu · 发表于 2008-7-19 19:11:31

原题没说. 我想一般就可以理解为"每个人戴到红,蓝帽子的几率相等". 当然,你若有兴趣,也可按其它分布做做

冷眼看戏的Lili · 发表于 2008-7-19 19:34:29

策略是:看到哪个色多就猜哪个。全体被释放的概率（几率）为 1-[C（1000，500）/2¹⁰⁰⁰]，一个非常接近于1 的数。

ca · 发表于 2008-7-20 07:29:27

被释放的几率是100%.只要每个囚犯都猜自己头上的帽子的颜色是可看见的其他囚犯头上的帽子的颜色中多的那种颜色就可以猜对的囚犯数目超过一半.

husonghu · 发表于 2008-7-20 07:53:55

你的结论不对. 你没仔细想. 有一种情况是例外 --- 碰到那种情况大家全错.

dm · 发表于 2008-7-20 17:13:46

The case is (500,500).

husonghu · 发表于 2008-7-20 18:26:17

husonghu · 发表于 2008-7-20 21:12:50

husonghu · 发表于 2008-7-20 21:13:27

欧韩女装 · 发表于 2008-7-21 09:44:40

事先囚犯假定其他囚犯帽子颜色数量的比数概率，释放机率>50%。

husonghu · 发表于 2008-7-21 10:19:34

不对. 而且只有>50%也太低了.

亚意男服 · 发表于 2008-7-21 10:50:16

“事先囚犯假定其他囚犯帽子颜色数量的比数概率”是什么意思？

dm · 发表于 2008-7-21 17:00:55

大家都选看见多的那种颜色(四人)
1.(4蓝,0红)

蓝1	3蓝, 0红	选蓝
蓝2	3蓝, 0红	选蓝
蓝3	3蓝, 0红	选蓝
蓝4	3蓝, 0红	选蓝

2.(3蓝,1红)

蓝1	2蓝, 1红	选蓝
蓝2	2蓝, 1红	选蓝
蓝3	2蓝, 1红	选蓝
红1	3蓝, 0红	选蓝

3.(2蓝,2红)

蓝1	1蓝, 2红	选红
蓝2	1蓝, 2红	选红
红1	2蓝, 1红	选蓝
红2	2蓝, 1红	选蓝

4.(1蓝,3红)

蓝1	0蓝, 3红	选红
红1	1蓝, 2红	选红
红2	1蓝, 2红	选红
红3	1蓝, 2红	选红

5.(0蓝,4红)

红1	0蓝, 3红	选红
红2	0蓝, 3红	选红
红3	0蓝, 3红	选红
红4	0蓝, 3红	选红

只有(2蓝,2红)被释放的几率不能超过 50%.

husonghu · 发表于 2008-7-21 18:46:34

策略是: 大家约好,看到哪种颜色多,就猜哪种.

这样, 在两种颜色不等时, 猜对的囚犯都会超过半数. 比如: 红帽501和蓝帽499时, 这501个戴红帽者都会猜对(猜红),而这499个戴蓝帽者全猜错(也猜红). 501>499, 释放.

只有运气极差时, 碰到红帽500, 蓝帽也500时, 囚犯们输定了, 1000人全猜错, 继续坐牢.

样本空间总数=2^1000, 其中红帽和蓝帽各500的样本总数=C(1000,500), 故猜对几率:

p = 1 - C(1000,500)/2^1000

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你是聪明的囚犯. 你被释放的几率为多少?

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有那么复杂吗？

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题意有点不清

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题意很清楚. 请你仔细想,答案就在其中.不用"有人说",你自己看到所有别人的(除你自己外).不能交流

你的意思是事先说好猜某种颜色?这样的策略太粗糙了,没有好好利用这个能被释放的好机会[:-K]

还需明确

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你的结论不对. 你没仔细想. 有一种情况是例外 --- 碰到那种情况大家全错.

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不对. 而且只有>50%也太低了.[;)][;)]

看不懂

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HF和Lili说对了. dm的简化例子也是对的,但说得不是很确切(尤其最后一句)....