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这一题估计需要数学高手来解答

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发表于 2008-6-28 08:10:51 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式

作者:西线晨雾
 
假设有理数的乘法交换律是成立的。怎样证明无理数的乘法交换律?
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沙发
发表于 2008-6-28 08:50:07 | 只看该作者

有英文原版么?中文专业名称看不懂


  有英文原版么?中文专业名称看不懂




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发表于 2008-6-28 19:50:55 | 只看该作者

您这问题里面的所谓无理数是如何定义的呢?无理数上的运算,比如乘法,又是


如何定义的呢?www.ddhw.com
中学里面介绍无理数是从有理数入手介绍的,可是公理化的实数定义一般不是这样的。


 
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 楼主| 发表于 2008-6-29 02:48:30 | 只看该作者

说明一下,这题来源于一篇文章,有兴趣的朋友可以读一读


神秘的无理数 - 挑战学院派

西线晨雾

无理数是在小学期间学的。当时没觉得无理数有什么神秘的,就是有点麻烦,求了
一位又一位,总也算不完。好在老师说了,求出小数点后三,四位就行了。到了大
学,学了级数才感觉到了无理数的神秘。在小学中所学的无理数的定义是无限不循
环小数,也就是不循环的阿拉伯数字串与小数点构成。对比级数概念,其实,无理
数就是以十为基的幂级数。谈到级数,就有收敛性问题,也可以说是有理序列的收
敛问题。那么到底是应该先建立有理序列的收敛概念来定义无理数,还是应该先定
义无理数从而建立序列的收敛概念?听起来似乎有点逻辑循环的味道。这就是我感
到的无理数的神秘性。www.ddhw.com

读了一些大师们写的书,更增加了我对无理数的神秘感。无理数的定义在这些大师
们的书中复杂去了。什么集合,什么戴狄金分划,非常难懂。看了这些书,我在佩
服作者功力之余,有一点不舒服的感觉。难道要懂无理数,需要学那么高深复杂的
知识?如此说来,小学生,中学生,甚至非理科的大学生都不能真正懂得无理数了?
真对这个问题,我也请教过一些资深的数学教师,他们的回答是,你以前学的都错
了,只有大师们写的书才是严格的。要想培养严格的思维,就得参照大师们的书,
按步就班学起。这就是学院派的回答。

读了不同风格的教科书和工作中积累的经验告诉我,简单的系统容易成功。把各个
教科书中的简单点集合起来几乎就是一本严格的教科书。有时简单就意味着严格。
以我最近在灵机一动出的一道题为例:利用有理数的乘法交换律证明无理数的乘法
交换律。遵循简单无理数定义的都给出了比较严格的证明。而遵循复杂无理数定义
的都还没有给出证明。复杂定义的有柯西有理序列定义无理数和戴狄金分划定义无
理数。而我偏偏认为,柯西有理序列定义和戴狄金分划定义都是不严格的。下面我
就谈谈理由。www.ddhw.com

如果要用柯西有理序列定义无理数,先要证明柯西有理序列的收敛性。而有理柯西
序列的收敛性证明要用到单调有界定理/实数完备性定理。而实数完备性定理,要求
实数被定义。另外无论什么序列的收敛性证明都要讨论

|an - c| 小于 e

如果c 能和 an 做减法,那么c一定要被事先定义。

现在讨论戴狄金有理分划定义无理数。我所知道的最常用的定义是,当有理分划的
下组没有最大数,上组没有最小数时,约定分划夹一个数。这个数就是无理数。其
实这个定义也是有缺陷的。首先,所谓夹就是比较大小。在这个数没定义之前,怎
样参与和有理数的比较?如果是逐位比较,那么说明这个数已有定义,不必定义两
次。还有,没有无理数的定义,怎样证明下组没有最大数,上组没有最小数的有理
分划的存在?就算这种分划存在,如何证明这种分划存在空隙而能容纳一个数?如
果数中只有整数被定义,1和2之间还有空隙吗?换句话说,如果没有无理数的事先
定义,就不能证明,下组没有最大数,上组没有最小数的有理分划夹一个数。如果
只定义有理数域,没有更广泛的数域,有理数域的非只能是空集。www.ddhw.com

走了一大圈,我们终于发现,最简单的定义是最完美的定义。也就是把无理数定义
为无限不循环小数。尽管它能写成级数形式,由于某些无限不循环小数是一些正方
形和矩形的斜边的长度,我们直接把他们接纳为数。再把这个概念扩展,一切无限
不循环小数都是数。当然这个定义也是公理化定义(没有被证明为几何量值的无限
不循环小数也被接纳)。这个世界是开环的还是闭环的我们不知道(很有可能是闭环
的,也就是互为因果的),但人类的论证只能从一个起点出发。这就需要公理。

从这个简单的无理数定义出发,很容易推导出实数的性质。有了无理数的事先定义
才可能证明下组没有最大数,上组没有最小数的有理分划夹一个数,从而很容易地
推出实数完备性定理,为以后的极限论铺平道路。同时这种逻辑次序也是最有利于
教学的,学生容易接受。

有时简单就意味着比较完美,有时简单就意味着严格。www.ddhw.com

 

  本贴由[xyh]最后编辑于:2008-6-30 1:16:2  

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发表于 2008-6-29 04:05:17 | 只看该作者

有句不中听的话,不知道兄弟听不听得进去?


兄弟,如果您想认真学习数学,最好不要看这一类半懂不懂的东西,这样不仅浪费您自己宝贵的时间,而且会让您形成错误的观念,是有百害而无一利的。
我不是反对创新,反对突破。但是但凡创新,但凡突破,但凡批判,都要建立在对已有系统的透彻理解之上,试想,如果一个人根本就不知道他所批判的东西是什么,他的批判还有什么意义呢?
相似的,在很多水平不高的诗词论坛上,经常看到一些自诩为新诗人的网友,对于格律,平仄大放厥词,可是仔细一读他们的文章,其实这些人基本上完全就不知道格律是个什么东西,平仄又是怎么一回事情,仅仅因为自己无知,而且懒得去钻研,就简单的先验的去批判一个自己并不了解的东西。这是很没有意思的事情。
这篇文章也是一样,文章的作者并没有搞清楚公理化实数定义的精髓,甚至连皮毛也理解有误,然后就随随便便的发表自己的“高论”,他的这种东西,懂的人自然懒得花功夫搭理他,大学一二年级的基础课上的东西,自己就算没学过,随便找个课本,一个晚上的功夫也就看懂了,这位作者连这点功夫都不肯用,还谈什么“挑战“呢?
兄弟啊,现代自然科学和数学博大精深,发展到今天,连一个通晓一门学科的人都不再可能有了,要想仅仅凭着一点点小聪明就去“挑战”这座大厦的基石,真的是很可笑可怜的事情。
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发表于 2008-6-29 10:43:40 | 只看该作者

同意哈,数学这门知识真的不是短时间靠聪明随便看看就能学出成绩的,貌似现在开始学数学有啥子用


  同意哈,数学这门知识真的不是短时间靠聪明随便看看就能学出成绩的,貌似现在开始学数学有啥子用




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发表于 2008-6-29 19:03:30 | 只看该作者

呵呵,活到老学到老,学习总是有好处的,不过必须有鉴别。


  呵呵,活到老学到老,学习总是有好处的,不过必须有鉴别。




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 楼主| 发表于 2008-6-30 23:46:57 | 只看该作者

听得进去,当然听得进


记得很久以前,idiot94曾经表达过对民科的不屑与反感,这点我很同意。
 
这篇文章我没有怎么看明白,原意是解释一下题目中无理数定义问题(也就是文中提到的简单定义?),没有想到闯了大篓子。
 
无论如何,我接受idiot94兄的建议,以后需要谨慎小心。
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发表于 2008-7-1 09:39:21 | 只看该作者

哪有什么篓子:)呵呵。。对于基础知识,只看经典著作就好了。[:-Q]


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