数学的美在于。。。

salmonfish · 发表于 2007-10-30 05:11:03

数学的美在于对同一个问题可以存在多种思考方式和解题方法，但是正确的答案只有一个。对同一问题从不同的角度进行分析求解往往可以加深对问题的理解。

我的“孩子问的问题”一贴其实就是企图对棉花糖MM问题，及Yinyin的计数方法进行一下反向求证。

在“孩子问的问题”里，第一个问题其实问的是：

在给定的条件下，即在“五张一套的卡片被拆开，均匀，随机地放到所有的麦片盒子里，每个盒子里有一张”的情形下，该怎么回答孩子的问题（“我们应该要买多少盒，才能凑起一套呀？”）

* 将全部盒子买回来；

* 将80%+1个盒子买回来；

。。。。

都是办法。但是不是最好的办法？用没有用到所提供的分布条件呢？

* “买25个盒子”用到了所提供的分布条件。但是不是最好方案呢？

第二个问题即是：什么是最好方案呢？

我以为最好的方案应是：利用卡片在盒子里均匀，随机分布的条件，以买最少数量的盒子而最大可能地凑起一套卡片来。

在这种考量下，得出了至少需要买11.4个盒子（理论值）的结论。由于不可能买0.4个盒子，故取最接近值12个盒子。

这样一来，“孩子问的问题”就又回到棉花糖MM的问题上了。但是，考虑问题的方向与前（Yinyin的）不同。

第三个问题：如果你得到了“一套卡片12个盒子”的结论，从你的计算过程中，能否推算出它的确定程度。

重要的是这一确定程度应与，但是否与，Yinyin的结论相吻合。

这就是我的目的。不妨大家也试一下。

本贴由[salmonfish]最后编辑于：2007-11-4 14:5:32

idiot94 · 发表于 2007-10-30 05:27:28

不过，所谓“最好“方案和用户的preference有关，也就是说对于不同的人来说，这个“最好“并不一定一致。通常，人们用一个叫做utility function的东西来把这种主观上的选择量化，从而得出对于某些特定用户的优化解。

salmonfish · 发表于 2007-10-30 05:51:07

谢谢，我又学了一点东西。

（没读过"科班", 看Yinyin等人的讨论，很吃力，但也学了不少。特别是Yinyin， Songhu等人的的通俗模型，帮我理解了很多。这不，又学到了一些。谢谢。）

idiot94 · 发表于 2007-10-30 06:19:08

本来，上论坛就是互相学习，互相了解嘛：）小的从您那儿学到的东西更要多的多了：）

不说题目 · 发表于 2007-10-30 11:42:11

数学的美在于对同一个问题可以存在多种思考方式和解题方法，但是正确的答案只有一个。对同一问题从不同的角度进行分析求解往往可以加深对问题的理解。

--------------------

以上的说法是多余的,因为条条路通罗马,从政治眼光看问题,都必须存在"多种思考方式和解题方法".

所以"多种思考方式"是任何学科都具有的,不是数学的专利,是人脑的专利.

而以下说法,在数学领域比较有看点,当然物理,化学领域也可以出现,

从答案上说,数学的美在于,如果遇到一个问题,可以是复杂问题,但得到的答案是:

1.根号2.或3-- 初级美

2.PI,或e,---- 初中级美,注:PI,e,---本身的美属于高级美

3.根号PI,或e,SIN(根号2.或3),COS(根号--) ---中级美

4.2或3--^PI,或e,或^SIN(根号2.或3---),或Ln(根号PI,---)----中上级美

5.在1-4的混合表达中引入i--------高级美

6.你发现更特殊的,但又是极其简单的表达------超高级美

以上美的特点:

1.表达一般都比较简单,表达中的部分或大部分,小学生也看得懂

2.表达的结果不会太长或太臃肿

-----------------

接下来还有两钟美

1.问题的美

2.解答过程的美

ssalmonfish · 发表于 2007-10-30 16:39:30

"政治眼光看问题...."怕怕

idiot94 · 发表于 2007-10-31 00:26:55

贾庆林在党外人士肮岢怪泄彩叽缶褡富嵘锨康?br>
　　统一战线要迅速掀起学习贯彻十七大精神热潮　用十七大精神武装头脑指导实践推动工作

　　中共中央政治局常委、全国政协主席贾庆林３０日出席党外人士学习贯彻中共十七大精神座谈会并讲话。他强调，学习贯彻中共十七大精神，是当前和今后一个时期全党全国各族人民的首要政治任务，也是统一战线的首要政治任务。我们要迅速掀起学习贯彻十七大精神的热潮，用十七大精神武装头脑、指导实践、推动工作，努力把统一战线广大成员的思想统一到十七大精神上来，把力量凝聚到实现十七大确定的各项任务上来，为夺取全面建设小康社会新胜利作出新贡献。

　　贾庆林指出，统一战线学习贯彻十七大精神，必须牢牢把握中国特色社会主义的方向，坚持中国特色社会主义道路，坚持中国特色社会主义理论体系，坚持中国共产党的领导，把统一战线广大成员紧密团结在中国共产党的周围，共同推进中国特色社会主义事业。必须深刻把握科学发展观的科学内涵、精神实质和根本要求，坚持把发展作为统一战线广大成员团结奋斗的第一要务，坚持把最广大人民的根本利益作为一切工作的根本出发点和落脚点，统筹推进统一战线各领域工作。必须准确把握实现全面建设小康社会奋斗目标的新要求，为促进社会主义经济、政治、文化、社会建设作出新贡献。

　　贾庆林强调，十七大报告对党的统一战线工作方针政策进行了深入阐述，充分反映了十六大以来我们党统一战线理论创新和实践发展的重要成果。我们要在全面学习十七大精神的基础上，认真学习这些新论述、新要求，把学习十七大精神同深入贯彻落实第２０次全国统战工作会议精神结合起来，认真研究解决统战工作中出现的新情况，特别是要研究当前迫切需要解决的各种问题，不断增强工作的预见性、主动性和有效性，扎扎实实地把十七大对统战工作的要求落到实处。

　　贾庆林希望各民主党派认真开好全国代表大会，遵循参政党建设的目标和原则，以政治交接为主线，全面加强思想、组织和制度建设，不断提高政治把握能力、组织协调能力、参政议政能力、合作共事能力，不断巩固和发展我国和谐的社会主义政党关系。希望工商联切实发挥好桥梁纽带和助手作用，引导非公有制经济人士自觉承担爱国报国、发展企业、遵纪守法、公益慈善、道德自律的社会责任，做合格的中国特色社会主义事业建设者。希望无党派人士把加强自身建设摆在突出位置，不断提高政治、思想和业务素质，始终与中国共产党风雨同舟、团结奋斗，更好地适应我国统一战线和多党合作事业的需要。

　　座谈会上，民革中央主席何鲁丽、民盟中央主席蒋树声、民建中央主席成思危、民进中央主席许嘉璐、农工党中央主席蒋正华、致公党中央主席罗豪才、九三学社中央主席韩启德、台盟中央主席林文漪、全国工商联主席黄孟复、无党派人士陈章良先后发言。他们畅谈了学习中共十七大精神的体会，高度评价了十六大以来我国改革开放和现代化建设取得的巨大成就，表示要认真学习贯彻好中共十七大精神，自觉接受中国共产党的领导，进一步履行参政议政和民主监督职能，坚持走中国特色社会主义政治发展道路，为夺取全面建设小康社会新胜利而奋斗。

　　座谈会由中共中央政治局委员、全国政协副主席、中央统战部部长刘延东主持。她说，统一战线广大成员一定要把思想和行动统一到十七大精神上来，把智慧和力量凝聚到大会确定的各项目标任务上来，始终高举中国特色社会主义伟大旗帜，坚定不移地走中国特色社会主义伟大道路，深入贯彻落实科学发展观，推动新世纪新阶段爱国统一战线和多党合作事业蓬勃发展，努力为夺取全面建设小康社会新胜利、开创中国特色社会主义新局面作出新的更大贡献。

　　全国政协副主席周铁农、张怀西、李蒙、张梅颖、张榕明，以及各民主党派中央、全国工商联专职副主席和无党派人士等出席了座谈会。（记者　李薇薇）

　　延伸阅读：

　　政协十届常委会第十九次会议闭幕贾庆林出席并讲话

　　政协十届常委会举办第十三次学习讲座贾庆林主持并讲话

oldstudent · 发表于 2007-10-31 00:34:50

Is 11.4个盒子（理论值）the average number of box to be opened to get all 5 cards?
This number looks like it, but it seems not easy to calculate. Would you let us know how 11.4 was calculated?

salmonfish · 发表于 2007-10-31 02:45:11

what is the definition of "average #？”

oldstudent · 发表于 2007-10-31 02:54:09

I am thinking it this way.

Every one continue to buy the boxes until they have collected 5 cards. Let N be the number of boxes each person bought to get 5 cards.

Then we should have an average of this number N.

Would you tell me how you got the number 11.4?

Thanks.

salmonfish · 发表于 2007-10-31 03:42:45

IC, Thanks. Sure I'll type it out.

oldstudent · 发表于 2007-10-31 04:14:28

Thanks. Looking forward to it.

salmonfish · 发表于 2007-10-31 04:30:03

条件：五张一套的pokemon卡片被拆开，均匀，随机的分布在所有的麦片盒子里。而且，每个盒子里只有一张卡片。www.ddhw.com

问题：www.ddhw.com

孩子问道，“我们应该买多少盒，才能凑齐一套呀？”

www.ddhw.com

设五张卡片分别为A,B,C,D,E.

先买一个盒子，其中必有一张卡片。不失普遍性，设该卡片为A.

www.ddhw.com

假设再买一个盒子，其中也必有一张卡片，或A, 或B, 或C, 或D, 或E（样品空间为5？刚学的，试一试），即五种可能。其中除了一种可能（A）以外，其余四个可能都满足第二张卡的要求（不同于第一张）。这个几率应该是 4/5。（"几率" ??不是100%，不干！）www.ddhw.com

再加一个盒子？（样品空间仍为5）"the opportunity"(???)应该增加到2x4/5=8/5。保险了，但是太浪费了（也不干）。www.ddhw.com

理论上（应是可行的）再加 1。25个盒子。这样 1。25 x (4/5）=1=100%. 所以，按照均匀，随机分布的条件，买2。25个盒子可以获得两张不同的卡片。不失普遍性，设其为A，B.www.ddhw.com

www.ddhw.com

同理，再找第三张不同的卡片。再买一个盒子（样品空间仍为5），但是只有三个“events"满足要求，得到第三张不同卡的几率为 3/5。同上理，只要买 5/3 个盒子就可使得到第三张不同卡的机会为 100%=1=（5/3）x (3/5)www.ddhw.com

同理，可以找到第四，第五张不同的卡片。

www.ddhw.com

总共盒数 = 1+ 5/4 + 5/3 + 5/2 + 5/1 = 11。4 盒 ~12 盒。

（班门弄斧了。行话也说不园。仅凭感觉，多请指教。）www.ddhw.com

附原题：www.ddhw.com

大家的讨论也勾起了记忆中一个孩子曾问到的问题。 www.ddhw.com

早餐麦片的制造商常常将一些孩子们喜欢的卡片放在麦片盒子里以助销售。有一段时间，比较热门的是pokemon卡片。据制造商宣传，五张一套的pokemon卡片被拆开，均匀，随机的分布在所有的麦片盒子里。而且，每个盒子里只有一张卡片。www.ddhw.com

孩子问道，“我们应该买多少盒，才能凑齐一套呀？”

你能帮助回答，解释一下吗？www.ddhw.com

（如果你得到了正确的答案，再问：你有多确定？（这不就成了。。。。？）

本贴由[salmonfish]最后编辑于：2007-10-31 0:0:28

oldstudent · 发表于 2007-10-31 05:42:48

三文先生,

Thank you for your time to explain your calculation.
'几率应该增加到2x4/5=8/5' is not correct.
First, 几率 can never be >1.
Just imagine that when you spin a coin for two time, and each time you have 1/2 chance to get a head, you can NOT guarantee that you can get a head after you try 2 times.
The chance is not 2x1/2=1.
Actually the chance is 1-1/2*1/2=3/4.

Please think about Cotton Candy's question. HF and Yinyin have calculated that we have only about 68% chance to get all 5 games if we buy 12 boxes of cereal.

I strongly suggest that you read Yinyin's discussion of the related topics.Yinyin has deep knowledge in probability and statistics. I believe we will all benefit from his posters.

本贴由[oldstudent]最后编辑于：2007-10-30 21:45:23

本贴由[oldstudent]最后编辑于：2007-10-30 21:46:42

salmonfish · 发表于 2007-10-31 06:13:34

thanks. you are right. I can't obtain something with a probability more than 100%. I misused the term here. I think the problem is that I am not familiar with the terminalogy of probability. However, in my gut, I feel that the picture is right. I'll correct the mistake.

let's see the case of the 2nd card. If one box give me 4/5 probability to get a different card from A, I'll get two boxes and combine them together. Here the key point is that the sample space is still the same (A,B,C,D,E), but I have two cards inside, the opportunity to get 2nd card which is different from A will be doubled. Am I right?

BTW, I am studying Yinyin's discussion, including yours and others. Thanks

本贴由[salmonfish]

本贴由[salmonfish]最后编辑于：2007-10-30 23:1:4

oldstudent · 发表于 2007-10-31 06:48:24

Th chance would be larger but won't be doubled.

本贴由[oldstudent]最后编辑于：2007-10-31 13:24:7

salmonfish · 发表于 2007-10-31 16:38:07

https://www.ddhw.com/listo.aspx?topic_id=9&msg_id=7814&level_string=0z05&page=1

本贴由[salmonfish]最后编辑于：2007-10-31 9:36:23

不明白 · 发表于 2007-10-31 17:57:34

啊哈是赞同还是......?

salmonfish · 发表于 2007-10-31 18:02:01

孜孜不倦@.® 兄的专业性的解答从不同的方向证明了Yinyin的解答（对棉花糖MM问题）的正确性。

同时，吾亦自感惭愧。不备利器，欲想凿玉。班门弄斧，东斩西砍，虽偶获结果（12个盒子），却也落得个伤痕累累，血迹斑斑。

（下决心补一下这方面的课。）

本贴由[salmonfish]最后编辑于：2007-11-2 10:50:16

salmonfish · 发表于 2007-10-31 18:03:55

Of course, 是赞同!!!!

salmonfish · 发表于 2007-10-31 18:53:42

Conclusion of reading it between the lines.

坚持"suck up to"!!!

本贴由[salmonfish]最后编辑于：2007-10-31 10:57:57

idiot94 · 发表于 2007-10-31 18:57:38

faint ... you really DID read that cr*p? ...

[:

salmonfish · 发表于 2007-10-31 18:58:57

out of politeness

idiot94 · 发表于 2007-10-31 19:02:23

lol ... 卿可与下惠曾参比肩矣

idiot94 · 发表于 2007-10-31 19:10:03

是概率的书还是统计的书啊？

如果先生真的有兴趣，有时间系统的学习这方面的东西，小的个人的建议以如此次序读书：

实分析(real analysis)，概率论(probability theory)，统计（statistical inference).

以先生之聪明睿智，这些不会花太多工夫。读完了这些基本的东西，虽然未必能解决所有古典概率的问题，但是对于问题背后的概念却不会再有含糊，而这种清晰可能比解某个具体问题更有价值。呵呵，孔见而已，仅供先生参考。

salmonfish · 发表于 2007-10-31 19:20:11

real analysis 早年读过。其他两类，以前从未触过。现手头借有一本“statistics" by William Navidi. 准备再借两本“probability"入门书。如有好的入门书，请建议. 吾这里先谢了。

salmonfish · 发表于 2007-10-31 19:35:21

一个开卡车的，怎能与圣人比肩？别抬了，抬高了我怕掉下来摔着了。

yinyin · 发表于 2007-10-31 21:17:11

三文兄和孜兄探求真理的精神十分令人敬佩。

yinyin觉得，二位有关棉mm题的概率陈述是否专业，还有待商榷。三文兄所引的孜兄的帖子能否“从不同的方向证明了Yinyin的解答（对棉花糖MM问题）的正确性”，还需认真审核。请不要认为yinyin是在泼冷水，yinyin只是觉得应对广大网友负责，对科学负责。望能谅解。yinyin这周特别忙（仍出门在外），还没仔细拜读二位的好多帖子，仅浏览了一下三文兄所引的孜兄的帖子，发现一些不妥的地方（如关于正态分布的论述等）。待yinyin忙过这一阵，再和大家讨论。

本贴由[yinyin]最后编辑于：2007-10-31 13:38:25

oldstudent · 发表于 2007-10-31 22:14:33

说得多好哇。Yinyin的人品和学识都让人佩服。

孜孜不倦@. · 发表于 2007-11-1 00:25:52

偶记得当年这类题5分被扣0.5到1分，最后答案的是对的的，但是陈述方式有问题，但现在忘记了完全正确无误的写法，只记得偶自己有瑕疵的做法，望高手纠正偶的错误。。。
三文兄关于数学的见解也非同凡响，受益匪浅

www.ddhw.org---

oldstudent · 发表于 2007-11-1 01:03:27

我个人认为是概念的错误，待YinYin回来做分析解答。
我先开个头
一个事件的概率如果是1/3,重复2次, 事件的概率是5/9, 而不是2/3.
In another word, if the probability of an event is 1/2 and you try 2 times,the probability that event occurs will be 3/4, not 1.

Sorry it is short, I type in Chinese too slowly.

idiot94 · 发表于 2007-11-1 03:15:05

https://ocw.mit.edu/OcwWeb/web/home/home/index.htm

这是个非常非常好的服务，完全免费，高水平高质量。。。MIT 可谓以天下为己任啊：）早就该推荐给诸位朋友了，正好借此机会拿给大家看看。

idiot94 · 发表于 2007-11-1 03:18:44

敏而好学，不耻下问，是以谓之文。----先生不必过谦：）

本贴由[idiot94]最后编辑于：2007-10-31 19:27:59

salmonfish · 发表于 2007-11-1 06:19:19

花了两个小时学习概率论的基础。发觉在我们的讨论里，有些概念没有陈述清楚，出现了混淆。特别是对"sample space" 在题中的理解出现了分歧。请允许我仍然用前面的例子来加以解释和说明。

let's still see the case of the 2nd card. If one box, say X, gives me only 4/5 probability to get a card different from A, I'll get another box, say Y, with another card in it, knowing that box Y also gives me 4/5 probability for a card different from A. The key point here is to know that two cards in two different boxes belong to two different sample spaces, X(A,B,C,D,E) and Y(A,B,C,D,E), That is, the event for box X is defined on sample space X(A,B,C,D,E), while event for box Y is defined on sample space Y(A,B,C,D,E). They are not "coupled or tangled" together. Any event occurs in box X can not be counted for whatever happens in Box Y, and vice versa. In other words, probability equation

P(X并Y) = P(X)+P(Y)-P(X交Y) and others

do not apply to P(X) and P(Y) for they are defined on the different sample spaces.

However, for my purpose, numerical number of P(X) + P(Y) reflects an increase of the opportunity to get a card different from A.

现学现用，如有不对处，请指正。

本贴由[salmonfish]最后编辑于：2007-10-31 22:46:45

孜孜不倦@. · 发表于 2007-11-1 10:00:46

hun,我说的是那个pokemon卡和盒子的问题

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数学的美在于。。。

三文先生的这段论述很好[>:D<][>:D<]

又学了一点东东。谢谢。

先生客气了[@};-]

专说数学的美

"政治眼光看问题...."怕怕 [:-K][:-K][:-K]

呵呵，您还蛮善良的啊。。我则不然！。。。看招，三文鱼！！[:B][:%]

回复：11.4个盒子（理论值）

what is the definition of "average #？”

回复：what is the definition of "average #？”

IC, Thanks. Sure I'll type it out.

回复：IC, Thanks. Sure I'll type it out.

班门弄斧了。[:>][:>][:>]

回复：几率 calculation

learning opportunity for me

回复：回复：回复：几率 calculation

啊哈。高手的解说。

啊哈是赞同还是......?

again.

Of course, 是赞同!!!!

suck up to![:-K][:-K]

faint ... you really DID read that cr*p? ...[:O][:

out of politeness

lol ... 卿可与下惠曾参比肩矣[:-M][:-M]

冒昧的问一句：先生现在看的书是哪一本？

thx

别抬了，抬高了我怕掉下来摔着了。[:-M][:-M]

待yinyin忙过这一阵，再和大家讨论。

回复：佩服[:-Q][:-Q][:-Q]

@。@被高手发现了，确实陈述的不清楚

回复:我个人认为是概念的错误

不用买书，这个网站上什么都有，我对MIT真是佩服到家了。。

夫子云，十里之邑，必有贤于夫子者---岂必庙堂然后圣贤哉？

我也认为是概念的混淆。

hun,我说的是那个pokemon卡和盒子的问题