如果你对数学感兴趣,怎么能错过呢?[>:D<]

棉花糖 · 发表于 2007-3-31 00:45:38

最近被一道数学题难住了,不知道要怎么做,又想知道能怎么做.......于是..........向脑坛的朋友求助来了!

The set(1,4,n)has the property that when any two distinct elements are chosen and 2112 is added to their product , the result is a perfect square. If n is a positive integer, the number of possible values for n is

A)8

B)7

C)6

D)5

E)4

希望看到答案的同时也能看到这答案是怎么来的,最好是能让我马上就明白的那种

husonghu · 发表于 2007-3-31 01:07:12

Good news is 脑坛肯定有人愿帮忙，只要你答应 marry with this forum

Bad news is 看来你的题目有错 --- 好象无解. But I may not have understood the question correctly

yinyin · 发表于 2007-3-31 01:44:53

答案是E。只有４才能满足要求。“any two distinct elements" 的陈述排除了４和４这一对选择，就剩下１和４一种选择。这时，(1x4)+2112=2116=46²。而下一个完全平方数是2209=47²。它与2112的差为９７。当 i 取５、６、７或８时，没有一个1xi 及4xi 能达到９７的。所以，n 不能取５、６、７或８。

husonghu · 发表于 2007-3-31 02:05:20

高！我果真理解错了，以为(4，4)也包括在内呢

色盲 · 发表于 2007-3-31 07:04:51

注意到陈述“the number of possible values for n ”，题目并不是求n的值，而是n的可能值的个数。所以恐坛友们对题意理解有误。n为正整数（注意没有设定上限），则不排除其为97的可能。97也是一个possible value。。。我怎么觉得有无限个可能值呢？但此题又是选择题，奇怪。。。不会题目有问题吧？

www.ddhw.org---

据说这世界是彩色的？

yinyin · 发表于 2007-3-31 07:29:43

色盲MM说得有道理，我把题意理解错了。这样，此题是一个较复杂的数论问题。

best88 · 发表于 2007-3-31 08:24:14

我看着就晕了

棉花糖 · 发表于 2007-3-31 08:37:01

再次验证过题目,结果是我输入的跟我看见的就是一个模子里刻出来的

题目并不是求n的值，而是n的可能值的个数我赞成这点,所以感觉比较.......正在迷茫中

富女 · 发表于 2007-4-1 02:12:49

me, too.

husonghu · 发表于 2007-4-1 02:47:02

先说这6个n值是:

37888, 16113, 8497, 3072, 697, 97

解法:

据题意,有:

n+2112=a^2 .......(1)

4n+2112=b^2 .....(2)

n,b,a都是正整数.

由此得:

n=(b-a)(b+a)/3

(b-a)和(b+a)都是正整数,且其中之一被3整除.

由 b-a=3p (p是正整数), b=a+3p, n=(2a+3p)p,

代入(1),并因式分解,得:

(a+p)(a-3p)=2112 .......(1-1)

由此得: a>3p, 故从a=3p+1试起,往上(3p+2,3p+3,......)找出(1-1)所有的正整解,共有5组,得5个n值.

同理,

由 b+a=3p (p是正整数), b=3p-a, n=(3p-2a)p,

代入(1),并因式分解,得:

(a+3p)(a-p)=2112 .......(1-2)

由此得: a>p, 故从a=p+1试起,往上(p+2,p+3,......)找出(1-2)所有的正整解,共有3组,得3个n值,但有两个是与上述5个中的两个重复.

故独立的n是6个.

色盲 · 发表于 2007-4-1 03:27:26

辛苦！我一看就懒得算了。。。懒虫

www.ddhw.org---

据说这世界是彩色的？

husonghu · 发表于 2007-4-1 03:34:16

如果n是3元素集合里不同的一个,则n=4不是解之一.

色盲 · 发表于 2007-4-1 04:15:24

题意并不是说集合中的元素各不相同，而是任选的两个数各不相同。

www.ddhw.org---

据说这世界是彩色的？

棉花糖 · 发表于 2007-4-1 04:58:54

看来我也得花九牛二虎之力看懂

非常谢谢大家的解答,那个老头给我的答案是B)7www.ddhw.com

husonghu · 发表于 2007-4-1 07:55:09

那大概是象色盲MM说的,包括了n=4. 欢迎你常来

色盲 · 发表于 2007-4-1 14:07:23

棉花回去和老头argue吧

PS:棉花的名字总让我想起北京东棉花胡同里的一间酒吧——就叫棉花糖，呵呵。

www.ddhw.org---

据说这世界是彩色的？

husonghu · 发表于 2007-4-2 01:51:20

另一可能: 也许老头是对的(1,4不算在内,而我漏找了一个)

色盲 · 发表于 2007-4-2 02:46:14

前面yinyin其实已经讨论了4是n的一个值。相似地1也是一个值。应该都算。

www.ddhw.org---

据说这世界是彩色的？

jjmm · 发表于 2007-4-3 00:10:00

有7个数，解法如下：
设 n+2112=(45+a)2 （因为 45*45=2025）
4n+2112=(45+a+b)2
（135+3a+b)*(45+a-b)=6336=2*2*2*2*2*2*3*3*11
=6336 *1 a=取整数 n=
3168 *2
2112 *3
1584 *4 352 155497
1056 *6
792 *8 155 37888
704 *9
576 *11
528 *12 90 16113
396 *16 58 8497
352 *18
288 *22
264 *24 27 3072
198 *32
192 *33
176 *36 8 697
144 *44 2 97

jjmm · 发表于 2007-4-3 00:12:00

少了155497

husonghu · 发表于 2007-4-3 05:03:29

excellent

欢迎jjmm

husonghu · 发表于 2007-4-3 05:04:37

Thank you

		自动登录	找回密码
密码			立即注册

动态微博

如果你对数学感兴趣,怎么能错过呢?[>:D<]

[@};-]There are good news and bad news for you....

回复：如果你对数学感兴趣,怎么能错过呢?[>:D<]

[:-Q][:-Q]高！我果真理解错了，以为(4，4)也包括在内呢[:>][:>]

回复：回复：如果你对数学感兴趣,怎么能错过呢?[:%]

回复：回复：回复：如果你对数学感兴趣,怎么能错过呢?[:%][:-Q]

我看着就晕了[:P]

回复：回复：回复：如果你对数学感兴趣,怎么能错过呢?[:%]

me, too. [:O] [:O] [;)]

答案是C,即共有6个满足条件的n. 也许我的解法太笨,花了九牛二虎之力才得出结果[:%][:%]

[:-Q]不过有7个吧？还有4呢

如果n是3元素集合里不同的一个,则n=4不是解之一.

题意并不是说集合中的元素各不相同，而是任选的两个数各不相同。

回复：答案是C,即共有6个满足条件的n. 也许我的解法太笨,花了九牛二虎之力才得出结果[:%][:%

那大概是象色盲MM说的,包括了n=4. 欢迎你常来[@};-][@};-][>:D<][>:D<]

[:-Q]应该1也可以。怀疑原答案不对

另一可能: 也许老头是对的(1,4不算在内,而我漏找了一个)[:P][:P]

前面yinyin其实已经讨论了4是n的一个值。相似地1也是一个值。应该都算。

7个数

少了155497

excellent[:-Q][:-Q]欢迎jjmm[@};-][@};-][@};-][@};-]

Thank you [:-Q][:-Q]