有多少条立体对角线

野菜花 · 发表于 2006-12-21 14:03:10

一个多面体各面不是三角形就是四边形，共有

26个顶点，60条边，问有多少条立体对角线(即不在这多面体的面上)

HF: · 发表于 2006-12-21 16:16:57

Total number of facets: 2+60-26 = 36.

From this and the number of edges, total number of quadrilateral faces: 12,

so answer: 26*25/2-60-12*2 = 241

回复 · 发表于 2006-12-21 17:18:08

一个多面体各面不是三角形就是四边形，共有26个顶点，60条边，问有多少条立体对角线。即不在这多面体的面上
一个简单多面体共有26个顶点，60条边，根据欧拉公式，面+顶点-边=2www.ddhw.com

所以面+26-60=2; 所以面=36
36个面，设三角形面有X个，四边形面有Y个，则有
X+Y=36(1)
又因为多边形的边数也可以由各个面的和计算出，则有 (3X+4Y)/2=60 (2)
由（1）（2）得X=24; Y=12
所以该多面体有24个三角形和12个四边形www.ddhw.com

考察任意一个三角形的面，每两个顶点互连都构成一个边。而考察任意一个四边形的面，连接任意两点，除了构成四个边之外，每个面上还有两条对角线是多余的，不构成边。
所以，总共的内边数目（即体对角线）等于任意空间任意两点的连线数减去边数再减去多余的面对角线数
即= C(2,26)-60-Y*2= 325-60-24=241

野菜花 · 发表于 2006-12-22 02:38:31

Great!

野菜花 · 发表于 2006-12-22 02:39:19

Perfect!

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