奇妙的概率悖论，一道题有三个正确答案(转载)

Iblessgod · 发表于 2006-9-25 13:45:38

　　这里有一道奇妙的概率题，如果你是业余人士，这道题你肯定会糊涂，哈哈。
　　
　　——事先说明，我也是业余人士，也不知道正确答案。只是无意中看到这个趣题，拿来与大家共享~同时欢迎对数学有研究的专业人士给讲讲这道题~
　　
　　************************************************************
　　有一个半径为r的圆，在此圆内作内接正三角形，设其边长为Y。取圆任意一条弦，设其长为X；同时。请问，X>Y的概率是多少？
　　
　　解答一：此题等价于“从圆心到弦的距离　　
　　因此，X>Y的概率为1/2
　　
　　
　　解答二：在圆周上取任意一点A作为弦的一个端点，另一端点沿圆周运动构成一系列弦。显然，其中所有与过A点的圆切线构成大于60度角且小于120度角的一部分弦是满足题目要求的，从角度关系容易得知，此部分弦占所有弦的1/3
　　
　　因此，X>Y的概率为1/3
　　
　　
　　解答三：考虑弦的中点，根据解答一中的“等价于”容易得知，若弦中点位于半径为r/2的同心小圆内，则弦长满足题意要求。很明显，小圆面积为大圆的1/4
　　
　　因此，X>Y的概率为1/4
　　************************************************************
　　
　　三个答案摆在你面前，看上去好像都正确，你选哪个？

Iblessgod · 发表于 2006-9-25 13:50:10

我的看法，解答三是错的。现在分析三错的原因：
　　按三的解法，先抛开圆心不考虑，其它的所有点都只能作为唯一一条弦的中点。那么概率为1/4
　　但是圆心不同，圆心可以作为无数条过圆心的弦的中点。
　　三的错误就是把过圆心的弦只当做一条来算。

要求概率的话，所有考察对象必须平等。如果不平等的话应该转换为平等的。　
　　那么一和二，两个答案也可以从这方面考虑（容易混淆，我现在搞不清楚）。

希望能有人给个可信的说法。

HF: · 发表于 2006-9-25 17:33:51

1/3

只看该作者 · 发表于 2006-9-25 22:05:05

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只看该作者 · 发表于 2006-9-25 22:20:58

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加跟贴 · 发表于 2006-9-25 23:46:51

事先说明，我也是业余人士.
我的看法是:这种概率题没有唯一的答案,也就是说只要你建立起相应的数学对应关系,答案可以有多个,概率从0到1都可能.因为从本质上说这是一个无穷大除以无穷大的问题, 涉及到无穷集合.
就拿解答一来说：为什么"其中有一半的弦到圆心的距离过半径上任一点都可以作平行的一根弦, 而且从圆心到r/2处的点数是该半径上所有点数的1/2.
这个假设前半部分没有问题,后半部分就不一定了.因为点数是无穷多的.
我们知道,如果0-1之间的实数可以和0-2之间的实数做一个1-1映射如下:
任意0-1之间的实数x, 都存在相应的0-2之间的实数2x，反之亦然。我们可以说0-1之间的实数和0-2之间的实数一样多，而不是像你的假设那样0-1之间的实数个数是0-2之间的实数个数的1/2。当然也可以其他的映射，那么0-1之间的实数个数和0-2之间的实数个数之比就是另外的值了。
不好意思，集合论忘的差不多了。还请高手给个精确的解释.

husonghu · 发表于 2006-9-26 01:29:55

我相信，解答二是正确的。

理由：根据“概率”的含义，弦的两端点落在圆弧上是“等几率”分布的，即：相对于每一段弧长来说，弦的两端点的分布在弧上的“线密度”是处处(！！)相等的。所以，用算弧长的方法来解此题是合理的。这就是解答二的方法。

解答一偷梁换柱，错用了“弦的面分布密度处处相等”这个假设。其实，如果在解答一中也改成算弧长，则就得到了与解答二同样的(对的)结果。

解答三也偷梁换柱，错用了“弦的中点在圆面上的分布密度处处相等”这个假设。

我当然不是专业人士，以上是我的gut feeling。请高手们指正。

只看该作者 · 发表于 2006-9-26 01:33:33

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husonghu · 发表于 2006-9-26 01:35:35

噢，HF和@@已经说对了。同意他们。@@的解释比我的简洁多了，佩服。

Iblessgod · 发表于 2006-9-26 05:35:44

本题是概率论有名的“贝特朗奇论”，传统的看法是三种答案都正确。我上网搜索也搜不到唯一的答案，都是各有看法（包括一些专业人士，^_^）。

加跟贴 · 发表于 2006-9-26 07:48:54

指教不敢,只是说一说我对这类问题的看法.

我们学的概率论(至少我学的),其样本空间都是有限的,所以可以计算出精确的事件出现次数和总次数,从而得出唯一的概率值.而此题的事件出现次数和总次数都是无限的,这就是我说的本质上是无穷大除以无穷大的原因.这种情况下传统的概率=事件出现次数/总次数的公式可能得出不唯一的结果,原因在于我们提到"次数"时都是有限的.这种情况下我认为用无限集合来解决比较合适.所以只要有相应的映射关系,可以有不唯一的结果.

至于你提到的奇数出现的概率问题, 我认为如果问题是这样的:求1-1000的整数中任取一个整数是奇数的概率, 那么此时传统概率公式完全可以解决.但如果问题是:求所有整数中任取一个整数是奇数的概率,这就牵扯到奇数和实数个数的问题,实际上无限集合中没有元素个数的概念,但有势的概念.从某种意义上来说,我觉得概率=1也是正确的.

欢迎讨论.

只看该作者 · 发表于 2006-9-26 09:54:24

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加跟贴 · 发表于 2006-9-26 11:44:15

这样吧,就你举的例子,你的答案是1/2.你能说说你的理由吗?

philisun · 发表于 2006-9-26 13:27:17

呵呵，答案是1/4

要点：

（1）考虑弦中点，弦中点到圆心距离大于1/2圆半径的弦的长度，大于等边三角形的边

（2）符合上述条件的弦的中点分部在一个圆环内，不符合上述条件的弦的中点分布在半径小于1/2圆半径的小圆里，二者面积比例是1/4

（3）概率就是面积的比例，所以是答案是1/4

只看该作者 · 发表于 2006-9-26 15:52:15

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Jason · 发表于 2006-9-26 16:27:27

我同意那三种解法都是正确的。

实际上，那三种方法是把问题用三种不同的random variables来转化，sample space mapping的不同罢了。

这说明单纯用语言是不能完全把数学问题严谨的描述好的，建好数学模型才可以使问题清晰化。

只看该作者 · 发表于 2006-9-26 16:52:49

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abcliushengabc · 发表于 2006-9-26 17:18:23

kankan

原贴：

文章来源: Iblessgod® 于 2006-9-25 5:45:38
标题：奇妙的概率悖论，一道题有三个正确答案(转载)

　　这里有一道奇妙的概率题，如果你是业余人士，这道题你肯定会糊涂，哈哈。
　　
　　——事先说明，我也是业余人士，也不知道正确答案。只是无意中看到这个趣题，拿来与大家共享~同时欢迎对数学有研究的专业人士给讲讲这道题~
　　
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　　有一个半径为r的圆，在此圆内作内接正三角形，设其边长为Y。取圆任意一条弦，设其长为X；同时。请问，X>Y的概率是多少？
　　
　　解答一：此题等价于“从圆心到弦的距离　　
　　因此，X>Y的概率为1/2
　　
　　
　　解答二：在圆周上取任意一点A作为弦的一个端点，另一端点沿圆周运动构成一系列弦。显然，其中所有与过A点的圆切线构成大于60度角且小于120度角的一部分弦是满足题目要求的，从角度关系容易得知，此部分弦占所有弦的1/3
　　
　　因此，X>Y的概率为1/3
　　
　　
　　解答三：考虑弦的中点，根据解答一中的“等价于”容易得知，若弦中点位于半径为r/2的同心小圆内，则弦长满足题意要求。很明显，小圆面积为大圆的1/4
　　
　　因此，X>Y的概率为1/4
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　　三个答案摆在你面前，看上去好像都正确，你选哪个？

linlinlin · 发表于 2006-9-26 18:46:20

1/3

tcpip004 · 发表于 2006-9-26 19:17:06

无论是无限还是有限，答案应该是唯一的。不能说是无限的问题就没有答案了。对于前面提到的奇数在自然数中的概率，如果按照建立对应的说法，是不是还可以说概率超过100％（这就有些荒谬了）。

举一个简单的例子，在园内任选一点，此点落在上半园的概率是多少？无容置疑，是1/2

对于本问题，我支持第二个答案 1/3。

我不是专业的。我觉得@@的解释很好。实际上，可以考虑这是一个在园上任选两点的问题，点在园周上均匀分布是一个合理的前提。而第一种求法和第三种求法，点的分布概率就不均了。

只看该作者 · 发表于 2006-9-26 20:04:58

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只看该作者 · 发表于 2006-9-26 21:17:44

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加跟贴 · 发表于 2006-9-26 21:55:43

这个例子因为概率固定,所以不太贴切.如果我把它改成:求所有整数中任取一个整数是素数的概率,你怎么解呢?按照你的理解,应该是0吗?

只看该作者 · 发表于 2006-9-26 23:44:08

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加跟贴 · 发表于 2006-9-27 01:53:50

是的,0有道理,但这与实际情况相悖.

我认为如果我们找到素数和整数的一一映射,可以认为概率为1.同样,如果我们找到素数和偶数的一一映射,可以认为概率为1/2...

总之,样本空间无限时,传统有限样本空间的结论不能直接应用.只要我们能找到相应的映射,概率可以不唯一.

就此题而言,我查了查,专家的主流看法也是3个答案都对(即使在问题表述清楚无异议的情况下也是如此).实际上如果我们再想想其他的方法,可以得出更多不同的"正确"结果,这就是我说概率从0到1都可能的原因.这看起来很荒谬,因为它直接动摇了我们对"正确答案是唯一的"的信心,尤其是在"非对即错"的数学里.

看来此题不是我等能解决的,专家的解释恐怕要牵扯到一些基本数学概念的定义,不是我能理解的.

只看该作者 · 发表于 2006-9-27 03:43:28

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Iblessgod · 发表于 2006-9-27 07:45:00

我解释一下我个人的看法。所有的问题都在“取圆的任意一条弦这里”（其实就是对概率中的每种可能性的取法）。可以想像所有的这些弦都存在，都已经画好了，我们不需要去画，我们需要的只是去取。像这到题目大家肯定没有异议：求a,b,c,d,e,f,g,h,i,j这十个字母中任意取一个字母属于｛a,b,c,d,e｝的概率，我们可以这样做，给每个字母编号依次为：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，则问题中的每个事件对应于唯一一个数字，一个数字对应于唯一一个事件。

那么在取弦的时候是不是也可以这样。给所有的弦“编号”，让每个“数字”对应于唯一一个事件。就是以弦中点来代表弦，取一条弦有唯一一个中点与它对应，一个中点只能取唯一一条弦。

对于解答一：取圆的任意一条弦的事件在这里面是：先取一个方向（这个方向对应有无数弦），然后再从这个方向里面的弦里面再取出一条。

对于解答二：取圆的任意一条弦的事件在这里面是：先取一个圆周上的点（这个点对应有无数弦），然后再从经过这点的弦里面取出一条。

回想一下以前做过的概率题，事件都是一次就取到，没有分类，然后再从分类里面再选。如果有，可能要用到更深层次的概率知识，可惜偶没学。

以上纯属个人看法，欢迎指正。谢谢。

我说两句 · 发表于 2006-9-27 11:15:25

应当为1/3吧

只看该作者 · 发表于 2006-9-27 18:59:06

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灵机一动 · 发表于 2006-9-27 21:05:33

只有第一个是正确的，余下的解释中，样本空间的计算都是有重复的，比如第二个，在分别考虑三个顶点的时候，样本空间就发生了重叠，所以任取一个端点的时候，事件总数没有错，但是样本空间并不是总空间的三分之一，而是偏大了，所以导致概率变小。第三个同理。

只看该作者 · 发表于 2006-9-27 21:13:21

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只看该作者 · 发表于 2006-9-27 22:17:37

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只看该作者 · 发表于 2006-9-27 22:21:17

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啊啊 · 发表于 2006-9-28 01:12:46

第二个答案是正确的

sot · 发表于 2006-9-28 09:46:11

答案二是正解.

对于三,同意Iblessgod的看法.

对于圆,圆周上的点是均匀分布的,其概率分布是相同的.但是圆心到弦的距离不是均匀分布的.因此答案一是错误的.

razuicanzi · 发表于 2008-1-29 06:58:36

概率为三角形的面积除以（圆的面积减去三角形的面积）

七维黑洞。 · 发表于 2008-8-6 08:05:31

这个问题的产生源于题目本身用语的含糊。不过当时，甚至到了今天，绝大多数人对随机事件和随机试验的理解存在缺陷。

题中对于所谓园中弦的取法没有明确的说明。换句话说，就是对所谓的随机试验的实验方法或过程手段描述不清。其实三种不同的答案对应于三种完全不同的随机实验方法。笔者愿意将这种思考留给各位。算是一种乐趣。如果实在想不出来，待笔者有空时再来回答。不过让别人回答真的不如自己想出来更好些。

附带说明一下，这种所谓的试验只能算是一种思想实验。只要前提交待清楚，就可以建立合理的假设，其答案也就是唯一的。

还有，笔者要说明的是目前国内绝大多数概率论教材中对概率概念的说明都有不同程度的逻辑和认识论上的混乱。以至于很少有人真正理解概率的公理化定义的意义，也分不清概率作为纯数学和概率作为应用数学的区别。

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谢谢出好题，欢迎新朋友[@};-][@};-]只能说“似乎有三个正确答案”，其实这有一个是正确的

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传统的看法是三个答案都正确，希望继续深入讨论。

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