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发表于 2005-11-23 21:46:47 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式

一张纸上写着1到9999所有的数。一只老鼠(名叫Jenny )把所有的数字0都吃掉了。例如6012变成了两个数6和12。吃完之后Jenny很快就算出剩下所有数的和。Jenny是怎么算的?和是多少?
 
下面是我的解答。Jenny一定有更好的办法,可惜她不告诉我们。www.ddhw.com

设F(n)是1到n个9的数,0被吃掉后的和(我们求的是F(4)),G(n)是所有不含0的n位数的和。F(n)由下面几部分组成:不含0的n位数,最后一位是0的数,最后一位不是0,倒数第2位是0的数,最后两位不是0,倒数第3位是0的数,等等。有下列递归关系:

F(n) = G(n) + F(n-1) + (9*F(n-2) + 10^(n-2)*G(1)) + ... + (9^(n-2)*F(1) + 10*G(n-2)) + G(n-1)

化简后得

F(n) = G(n) + a_1*G(n-1) + a_2*G(n-2) + ... + a_(n-1)*G(1),

其中 a_k = (10^k-1)*2/9 - k + 1,及 G(n) = 5*(10^n - 1)*9^(n-1),这样可以算出任意F(n)。对我们的题,有

F(4) = G(4) + 2G(3) + 21G(2) + 220G(1)
G(1) = 45
G(2) = 4455
G(3) = 404595
G(4) = 36446355

所以 F(4) = 37359000。

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沙发
发表于 2005-11-23 22:23:55 | 只看该作者

Jenny 太笨了[:%][:%][:((][:((]


Jenny 太笨了[:%][:%][:((][:((]
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  本贴由[Jenny]最后编辑于:2005-11-23 14:24:50  

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板凳
发表于 2005-11-24 01:52:14 | 只看该作者

我们的答案不是对的吗,楼主不置可否,我以为做错了呢![:%]


  我们的答案不是对的吗,楼主不置可否,我以为做错了呢!




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地板
 楼主| 发表于 2005-11-24 03:16:43 | 只看该作者

没有说你不对呀![:((][:((] 只是想让更多人看看有没有更好的解。[:((][:((]


  没有说你不对呀! 只是想让更多人看看有没有更好的解。




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发表于 2005-11-24 07:12:58 | 只看该作者

回复:没有说你不对呀![:((][:((] 只是想让更多人看看有没有更好的解。[:((][:((]


你的题目对我来说本来就偏难,偶而看到相对容易的,化力气做了你也常看不上眼,俺自信心受挫,以后更不敢做了

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 楼主| 发表于 2005-11-24 19:55:43 | 只看该作者

[:((][:((][:((]你再冤枉我六月要下雪了![:((][:((][:((]


   你再冤枉我六月要下雪了!




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 楼主| 发表于 2005-11-24 19:58:44 | 只看该作者

Jenny 才不笨呢。Jenny的谜语我一个都猜不出来,答案也多半看不懂。


  Jenny 才不笨呢。Jenny的谜语我一个都猜不出来,答案也多半看不懂。




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发表于 2005-11-24 21:40:22 | 只看该作者

南半球不是六月下雪吗,很高兴对我的话有一半肯定[;)]。开玩笑不会当真吧[:E],如果真有


这样的意见, 我也不会说了

.
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 楼主| 发表于 2005-11-25 00:05:05 | 只看该作者

南半球六月下雪!看样子我只好认了。[:((][:((][:((]


  南半球六月下雪!看样子我只好认了。




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10#
发表于 2005-11-25 15:59:00 | 只看该作者

[:))][:))][@};-][>:D<]


  




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 楼主| 发表于 2005-11-28 22:37:23 | 只看该作者

Jenny的解法


查了一下出题的地方,答案是10^n * ((9^n - 8n - 1)*729/1280 + 9n/2)。 说是用差分方程解的。www.ddhw.com

Jenny会差分方程,我们不会。

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发表于 2005-11-30 14:04:07 | 只看该作者

那就赶紧请Jenny来教[:E][:D)]


  那就赶紧请Jenny来教




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