每周一题 by 万精油: 球面三角形

fzy · 发表于 2005-2-19 00:15:44

球面三角形

Difficulty: +++

平面上连接两点的最短线是直线。曲面上连接两点的最短线叫测地线。在球面上测地线就是把球面等分为两个半球面的大圆。过任意两点的大圆就是由这两点以及球心这三点所确定的平面与球面相交出来的圆。

一个单位球面上有三个点Ａ，Ｂ，Ｃ，把这三点用最短测地线（大圆）连接起来就构成一个球面三角形。如果这个三角形的三个角分别是ａ，ｂ，ｃ。问这个三角形的面积是多少？

我很高兴 · 发表于 2005-2-19 00:23:21

ａ＋ｂ＋ｃ－pi 来源于阿基米德

fzy · 发表于 2005-2-19 05:31:13

It is easy to guess the result. For example, if the triangle covers 1/8 of the sphere, all three angles are pi/2. But the proof is very interesting. Once again, if you know the proof already, please step back so other people can have some fun.

QL · 发表于 2005-2-21 08:33:00

对每个边，考虑过此边但不包括该三角形的半球面，共有三个这样的半球面，它们之见，两两交集面积分别

是 (a/(2*pi))*4pi=2a, 2b, 2c

而三个半球面加该三角形及其对称三角形正好覆盖球面

因此面积为： (4*pi-(3*2*pi-2a-2b-2c))/2 = a+b+c-piwww.ddhw.com

fzy · 发表于 2005-2-23 18:15:40

Good proof

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每周一题 by 万精油: 球面三角形

ａ＋ｂ＋ｃ－pi 来源于阿基米德

Can someone give a proof?

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Good proof