请聪明的你帮个忙.....

husonghu · 发表于 2007-5-10 11:15:20

兄弟俩分家, 请你帮忙平分一下一块呈非特殊三角形的地, 要求分割的地界线最短.

色盲 · 发表于 2007-5-10 16:43:45

有图么？什么样的三角形？任意三角形么？

本贴由[色盲]最后编辑于：2007-5-10 16:37:49

www.ddhw.org---

据说这世界是彩色的？

HF: · 发表于 2007-5-10 17:24:08

Consider a trangle ABC, with edges of lengths a, b, c (where a is the length of the edge opposite to vertex A, and similarily for b vs B, c vs C). With a little abuse of notation, we also use A to represent the angle at vertex A.

Now, consider a triangle ADE, with D on AB and E on AC, let's denote the length of AD and AE as x and y respectively . We want to minimize the length of DE subject to the constrain that the area of ADE is half of that of ABC, or:

max x^2+y^2-2 *x *y *cos(A)

subject to

x*y = 1/2*b*c

x

Since x*y is constant, so that problem can be simplified:

max x^2+y^2

subject to

x*y = 1/2*b*c

x

Solution:

(1) if 1/2

else

(2) b>=2*c, y = c, x = 1/2*b

(3) c>=2*b, x=b, y = 1/2*c

Then, the length of DE = sqrt(b^2+c^2-2*b*c*cosA)

Similarily, you may calculate the length of the dividing line for small triangles contain vertex C and B, and compare to get the final result.

husonghu · 发表于 2007-5-10 20:17:38

husonghu · 发表于 2007-5-10 20:27:45

Good try，但有点太复杂了。具体怎么操作划分呢？假设你在地头，只有卷尺和计算器在手

本贴由[husonghu]最后编辑于：2007-5-10 12:33:29

HF: · 发表于 2007-5-10 22:04:13

To simplify: Find the two longest edges, say AB and AC, find D on AB and E on AC so that

|AD| = |AE| = sqrt(1/2*|AB|*|AC|)

Then DE is the line.

yinyin · 发表于 2007-5-10 22:51:48

记三角形ABC对应于顶点A、B、C的边长分别为a、b、c。不妨设a≥b≥c。

１）由A点作BC之垂线，记垂足为D，并量得AD和CD的长度，分别记为h和d；

２）计算C角α=tan^-1(h/d)；

３）作C角之平分线，在其上取点E使得CE长[ah/4tan(α/2)]^(1/2)；

４）过E点作CE之垂线交三角形两边，即得最短分界线。

wushuihe · 发表于 2007-5-11 14:40:19

一段弧线会更短吧?

yinyin · 发表于 2007-5-11 22:03:27

好主意！请试试。yinyin是在直线的假设下进行优化的，可能过于局限。

yinyin · 发表于 2007-5-11 23:03:05

不过，即使某一曲线为最短，仅用卷尺和计算器一般也画不出来。

若用圆弧，可以画，也确是可以更短一些，为直线段的[α/2tan(α/2)]^1/2倍长。这样，（３）和（４）那两步就改为一步：

３）用卷尺，一端固定在C点，按半径(hd/2α)^1/2画圆弧即可。

本贴由[yinyin]最后编辑于：2007-5-11 19:59:49

本贴由[yinyin]最后编辑于：2007-5-11 20:3:41

本贴由[yinyin]最后编辑于：2007-5-11 23:39:41

yinyin · 发表于 2007-5-12 07:45:51

在曲线段与C角所围的面积固定（１／２的三角形面积）的条件下，这圆弧在任何曲线中是最短的。

husonghu · 发表于 2007-5-12 12:59:02

首先,我道歉没把题要求说清楚(直线还是弧线). 不过两者都可以做. HF,yinyin,舞水河都对了

husonghu · 发表于 2007-5-12 13:03:47

设三角形ABC中, C角为最小角, a和b为两较长边, 只要从C角顶起在a和b上各量CD=CE=sqrt(ab/2), 连接DE即为所求最短直线, 因它是等腰三角形CDE的底边, 而且CDE面积=(1/2)(CD)(CE)(sinC)=(1/4)ab(sinC)=(1/2)ABC面积.www.ddhw.com

www.ddhw.com

yinyin的做法要繁一点(作垂线,算角度, 取角平分线等等), 但可以验证结果是一样的.

husonghu · 发表于 2007-5-12 13:06:49

(hd/2α)^1/2似乎应该是(ha/2α)^1/2, 请查看一下, 对吗?

www.ddhw.com

因为从(扇形面积=(1/2)三角形面积):www.ddhw.com

αr²/2=(1/4)ab(sin α)www.ddhw.com

得:www.ddhw.com

r=[ab(sin α)/2α]^1/2= (ha/2α)^1/2

本贴由[husonghu]最后编辑于：2007-5-12 5:11:55

yinyin · 发表于 2007-5-12 22:29:47

谢谢指正，yinyin是错把a打成d了。

soup · 发表于 2008-3-26 18:28:54

作过三角形后，在三角形的三边分别作三条高，取高最短的那条底边，将这条底边的中点与其所对的顶点相连接，所作的线段就是分地的界。

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请聪明的你帮个忙.....

恭喜HU兄获奖！！[>:D<][@};-][>:D<][@};-] 至于这个题。。。

回复：请聪明的你帮个忙.....

是任意的，你自己画一个就好。答案应该是普适的[@};-][@};-]

Good try，但有点太复杂了。具体怎么操作划分呢？假设你在地头，只有卷尺和计算器在手[;)]

回复：Good try，但有点太复杂了。具体怎么操作划分呢？假设你在地头，只有卷尺和计算器在手[;)

回复：请聪明的你帮个忙.....

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首先,我道歉没把题要求说清楚(直线还是弧线). 不过两者都可以做. HF,yinyin,舞水河都对了

先说用直线分界, HF和yinyin的做法本质上一样, 都对. 但HF的较简便实用. 就是:

再说弧线分界, 舞水河说对, yinyin做对. 但yinyin你的半径算式似乎差一点点:

谢谢指正，yinyin是错把a打成d了。[:>]

可以任意做一个三角形……