2的幂与7的关系

野菜花 · 发表于 2007-1-12 06:34:26

1. 找出所有的自然数 n 使得 2ⁿ -1 能被

7整除

2. 证明对任何自然数 n ，2ⁿ +1 都不能被

7整除

yinyin · 发表于 2007-1-12 06:46:31

1) n=2^3k-1, k=1, 2, ... .

yinyin · 发表于 2007-1-12 07:05:20

2) Use the mathematical induction to show that 2ⁿ(mod 7) is in set {1,2,4}:

When n=1,2,or 3, 2ⁿ(mod 7) =2,4,1 respectively. For any given k>=3, assuming that 2^k(model 7) is in set {1,2,4}, we know that 2⁽ⁿ⁺¹⁾=2*2ⁿ(mod 7)is also in {1,2,4} since 2*1(mod 7)=2, 2*2(mod 7)=4, and 2*4(mod 7)=1.

Thus, (2ⁿ+1)(mod 7) is in set {2,3,5} and, therefore, 2ⁿ+1 cannot be exactly divided by 7 for any natural number n.

Note. For any natural numbers m and i, m(mod i) represents the remainder when m is divided by i.

本贴由[yinyin]最后编辑于：2007-1-11 23:22:26

本贴由[yinyin]最后编辑于：2007-1-12 0:45:59

野菜花 · 发表于 2007-1-12 07:18:05

这么快！佩服！

野菜花 · 发表于 2007-1-12 07:18:36

PERFECT!

色盲 · 发表于 2007-1-14 22:32:16

貌似是n=3k, k=1,2,3...

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据说这世界是彩色的？

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