Feuerbach 九点圆问题

constant · 发表于 2005-11-3 17:32:11

难度：+++

证明三角形中三条边的中点、三个高的垂足和垂心到各顶点的三个线段的中点在一个圆上。

野菜花 · 发表于 2005-11-4 02:11:00

三角形ABC中 D，E，F为中点，O为垂心， G为垂足，H为AO(垂心到A)的中点(见上图)。

只要证明www.ddhw.com

1) EFDG共园，这样垂足G在三个中点决定的园上，同理另两个垂足也在这个园上

2) EHFG共园，这样H(垂心到A的中点) 在这个园上，同理BO，CO的中点也在这个园上www.ddhw.com

证1) ：只要证明

那个绿三角形和蓝三角形都是等腰三角形，所以

证2) 只要证明www.ddhw.com

EH//(AC上的垂线) ，EH与AC垂直， HG与BC垂直，所以

constant · 发表于 2005-11-4 18:02:20

is a little out of place. Took me a while to realize the green triangle is isosceles.

野菜花 · 发表于 2005-11-4 18:48:23

You mean the picture is not accurate or the two letters are little far from the points?
Since I drew them in Paint, there is no measurement, I just drew them approximately. And writing letters would cover some part of a segment, so I have to redraw the lines after I put letters.

Earthson · 发表于 2009-7-19 08:05:01

九点圆可以被推广到空间内的某类四面体的12点共球，我给出了推广http://blog.sina.com.cn/mathchaser

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So nicely done, except E and G in the left picture

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