从Hu兄《兄弟情深 囚徒抓豆修改版之二》引起的

salmonfish

版主Hu兄的《兄弟情深 囚徒抓豆修改版之二》见
http://www.zzwav.com/thread-164566-1-1.html

昨天当Hu兄的《兄弟情深 囚徒抓豆修改版之二》一贴出，开开就给出了答案。但细想之后，发现适合题意的答案太多。譬如，当#1选取了一颗豆子时，#2可以有很大的一个范围选取他的豆数（开开给出了范围50~72）都不会影响到后继“弟兄们”的推理和正确选择。譬如说，#2取了50。#3已知数值 1 肯定被取，根据所剩豆数49，知#2的豆数为50.  因为50>49>27(2,3,4,5,6,7之和）,#3尽可放心取2，#4取3，。。。留下#8收取残余29。这样，除了#1和#2，大家都存活。如果#3反向取数还有那许多解（合在一起数量至少上百）。
俺感觉这样就失去了趣味性，所以试想找另一种唯一解法。经不住开开的鼓励，这里，俺把Hu兄的提问稍微改动了一下，还是用Hu兄原题的条件和规定。
问
1）当#1先取了 1，那么#2可以取什么最小数为上限，同样使得其他人都得以受到保护，而且每个后继者都可以发现对自己，对别人都安全的数？
2）依次，每个后继者（#3，#4，#5，#6，#7，#8）可以取什么最小上限数，使得他自己和其他人都得以受到保护，而且他的每个后继者都可以发现对自己，对别人都安全的数？

salmonfish

正如Hu兄所言，尽管根据题目给定的条件，囚犯们都很聪明，但这还不够，前面取数的人还要将信息清楚的传给后面的弟兄们。这里信息的传递不是由前面的人一下子就能让所有的后继者都清楚他的方法，而应该是逐步传递下去的。每个人根据所剩豆数，#2传信息给#3，#3传给#4，。。。

那么，当#1很自然地取了 1（定义了下限），#2应该取一个数使得后来者取的数都无法超越自己（舍己救人）。这个数其实也就定义了一个上限。问题是#2 可以在一个很大范围内取（上限）值（例如，开开说的可以从50到72），且保证后继者无法超越。但是，取哪一个值，或哪一些值能够将信息准确地传递下去？开开正确地提出来#2 应该取 72。这是因为数值 72 在#2可取值范围内有它的特殊性，即72 是#2可取值范围的最大上限，是唯一的。得知#2 取走了72，#3（也是聪明人）得到信息，在保证后继者安全的前提下，它应该取自己可能取值范围的最大上限，即，数值 7。依次，信息传递下去，#4取6，#5取5，。。。得开开解。又知，在#2可取值的范围内也一定存在一个唯一的最小上限。同72一样，这个值也是#2取值范围内的一个具有唯一性的“特殊”数值。如果#2取这个值，#3也应该得到从#2传来的信息。那就是在自己可能取值的范围内取最小上限值。然后，这个信息依次传递下去也可以使得剩下的囚犯都得以生存。这两个过程在信息内容和传递方面没有什么实质性的不同。所以根据题意，大家都是"很聪明的人“，都应该能抓住前者送来的信息。 这样最后，不管是遵循那个过程，除#1，#2外，大家都得救。

从趣味性方面来看，#2最大上限的取值是根据后继者取数的“最小安全数组”（7,6,5,4,3,2）之和来确定的；#3最大上限的取值也是根据后继者取数的“最小安全数组”（6,5,4,3,2）之和来确定的；。。。相对来说，“最小安全数组”的确定比较容易 Eyeballed out。而每个人的最小上限值的发现却不是那么显然，需要一些思考。但是这种思考仍不超出初等（数学）推理和运算的范畴。况且已知这些囚徒都是“很聪明的人”。这样，如果#2取最小上限为值，那么，#3自然就会思想为什么#2不取似乎显然的 72（最大上限）？ 经过思考#3应该会很快地发现#2取的数也是一个特殊值---最小上限值！这样，他也就照葫芦画瓢，。。。。依次，后继者都得救。

这也就是俺在Hu兄题目下加上一个延伸的初衷---增加一些趣味性。

salmonfish

94,94
后续的兄弟尽可以坚信前面的兄弟安排没差错，只要后续的人都往后考虑周全就可以了。
后继兄弟其实也都在思考，在验证前面的兄弟“为什么用这个（或这些）数，而不是用类似开开所选的最大上限？”经过稍微思考，每个聪明人都会一拍脑袋说：“我知道了”。然后，这个信息就会被传递下去了。趣味就在后继的每个人都要这样验证，思考前面兄弟的数，然后加以简单的推理，运算得出自己的最小上限数。

salmonfish

开开心心 发表于 2015-5-17 11:37
还是不明白
#1 取1
#2 只要取1个数余数少过就可以 是50

Hint:
#1 取1
#2 可以取1个小于50的特殊数！！！

也就是说，存在一个小于50的数，这个数跟你选的 72 一样都具有某种特殊性。而#2的后继者可以利用这个数的特殊性逐步把信息传下去，得到存活的可能。

salmonfish

开开心心 发表于 2015-5-17 11:55
我刚修改过

三文兄再看一下

如果#2 取数8， #3就可能取一个数大于8，而将#2保护住，自己牺牲。这样就跟条件相冲突了。因为#2在前，聪敏的#2将会先牺牲自己，并保护后继者。
另，如果#2选50，#3选2，那就会给#4留下ambiguity. 在#4的眼中（50, 2）的组合跟（49，3）的组合等价。#4就会被疑惑，而可能出现差错。

salmonfish

husonghu 发表于 2015-5-17 12:34
开开让#2取8大有问题。一是如三文指出的，与原题条件冲突；二是更大的问题，4号及4号之后的兄弟，谁又能知8 ...

salmonfish

开开心心 发表于 2015-5-18 09:01
#2的最小上限数 是40 ？

解题

salmonfish

husonghu 发表于 2015-5-18 07:42
我来开个解答的头吧：

假设一号已争先舍己救人取了1颗； 我是二号，也是争先舍己救人的， 我会至少取的数 ...