怎样逃出生天?

husonghu · 发表于 2012-8-29 05:49:32

有一片神秘的森林，在里面任何人也无法辨识方向。它存在于一个神奇的空间，这个空间是精确的欧几里得空间。它只有一条直线的边界，即，森林拓展为一个半平面。
一个受过严格训练的探险者(寇仲），他对行进方向的控制能力达到了完美的程度。寇仲打算区森林中寻找传说的上古时代埋藏在森林的众神宝典。一天，他从森林的边界，提升真气至极限，以6400公里/小时的极限速度，垂直飞行进入森林1000公里，然后调转行进方向90度继续行进，这时他的路线是严格与森林的边界平行的。非常幸运的，他终于看到了传说的遗迹，正当他欣喜若狂的揭开被诅咒了的封印，地动山摇，只觉得好像整个空间都似裂开，他头晕眩，终于昏死过去....不知过了久，寇仲悠悠醒转，可是，非常不幸的，他完全迷失了方向！空间仍在裂变之中，地域之火正慢慢燃烧，他知道，如果不能在1小内飞出森林，这里就是他的葬身之地！.........现在请问，
1）是否存在一个飞行策略，使他一定能够活着飞出森林？
2）能否证明你找到的这个策略是最佳的？

No.MSG.Please · 发表于 2012-8-29 23:37:51

找到一个解法，需要飞6397公里，刚好。。。

假设单位长度是1000公里，以昏倒之地为原点，做一个半径为1的圆，任意选择一个圆切线为虚拟边界，从切点（不妨假设顺时针）绕圆一周需要飞2*PI，因而可以用这个飞行距离来定义圆周上各点，比如切点是圆周点0，飞行半圈到圆周点PI，圆周点2*PI又是切点，依次类推。具体飞行路线是这样：

1）从原点飞向圆周点PI/6，并继续直线飞，直到虚拟边界，飞行距离是 2/Sqrt(3)
2）转向飞向圆周点 PI/3，飞行距离 1/Sqrt(3)
3）顺时针沿着圆周飞，直到圆周点 PI * 3/2，飞行距离 PI * 7/6
4）垂直飞向虚拟边界，飞行距离是1

不知道是不是最佳解。。。

本贴由[No.MSG.Please]最后编辑于：2012-8-29 23:0:58

本贴由[No.MSG.Please]最后编辑于：2012-8-29 23:52:9

东北逍遥客 · 发表于 2012-8-30 08:16:31

该题等价于从直线外一点(原点)开始做一笔画,该一笔画长度不超过6400,以原点为圆心旋转360度,旋转过程中任何时刻一笔画中至少有一点要接触到直线.

解答1)通过原点做一六边形,六边形的一边与直线重合,原点到正六边形的边垂线长度设为1000,然后再以原点为圆心,半径1000做一圆,从原点开始画图:

首先连接原点到正六边形与直线重合的两顶点之一,然后从该顶点做园的切线(哪个方向不用说了吧),然后向远离直线方向沿着圆周前进210度,然后向直线画垂线. 经计算一笔画长度大约为6397,可满足逃生要求

对于解答2)我初步认为从方法上来说,没有更好的方法了,至于是否可以从小处斟酌一下,比如不用正六边形,少许调整初始方向,最后可否能使路径缩短,由于中午要吃饭了,我就不仔细计算了(写出函数求极值,或计算机调整少许角度模拟).

冷眼看戏的 · 发表于 2012-8-31 11:48:35

俺就用数学语言来解题了。

此题类似于微积分课程中关于导数应用的一个习题，后者是求能够触及边界的最短行程。

以下陈述中，长度单位为千公里，角以弧度计，pi为圆周率。

计划路径：设x为界于0和 pi/2 之间的待定角度。从原点O按任一选定的方向出发，直行 1/cosx 至A点。右折（顺时针转）pi/2+x 弧度后直行 tanx 至B点。此点恰好在以O为圆心、1为半径的圆周上。顺此圆弧前行 3pi/2-2x 弧度至C点。最后再按切线方向前行1至D点。此行径必触及边界。

从O到D的总行程为 y=1/cosx+tanx+3pi/2-2x+1。现欲极小化y。计算y关于x的导数，得 y'=[cos²x+(1+sinx)sinx]/cos²x-2。令其等于零，得方程 [sinx+sin²x-cos²x]/cos²x=0，即 2sin²x+sinx-1=0。适用解为 sinx=1/2，即 x=pi/6。此时，y=6.397242231 (近似
)。此即东北逍遥客给出的解。

其实，上述CD长为1，就已用了另一个较为简单的优化结果于行程末端。

冷眼看戏的Lili · 发表于 2012-8-31 11:56:25

对不起！名中少打了个Lili

tong-tong · 发表于 2012-9-1 02:24:09

代数，几何，函数...集成了一体。

findfun · 发表于 2013-1-29 02:32:57

He uses his current position as the center, fly 1000km to the starting point of a circle, then he need to fly a complete circle journey to make sure to find the way out. He may need to fly total: 1000+2000Pi to escape from the forest. He may die...

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很好的题目

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对不起！名中少打了个Lili

楼上的都不愧为数学家。[:-Q]

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