有趣而费解的题: 到底该换还是不该换?

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-16 09:32:14

“换了”以后，那概率怎么算的？楼主帖子里没说吧。您算算看。
别着急。您要是自己想明白了不更好吗。

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-16 10:16:28

说实话，俺觉得您不是数学科班出身。不知道您熟悉不熟悉概率论中的Geometric分布和Poisson分布。您可去查查，有关讨论是不是都是在钻“悖论”牛角。再说，俺已在原题经简化的修改版本中把原来的钱数改为数学上的正整数了（期望值是无穷也没有什么关系吧），并已请您考虑。您怎么视而不见呢！不要总纠缠那钱的有限无限、进而就认定那是个“悖论”，应从理论上去看楼主帖中的推理存在什么问题。

“尽管均匀分布比较直观和夸张, 其实1元概率是1/2,10元概率是1/4,100元概率1/8,本质上不也是一样的吗? 多次抽样你定能发现还是离0太近了. 当N足够大时, 10^N的概率绝不会达到1/2^N, 虽然没有前例那么显然. 但对懂数学的我们也不该上当, 不是吗? 因为期望值是无穷大在那摆着的.”------您这一段是打算说明什么呢？

您讲过的“问题的实质”是什么呀？能不能明确地说一说？

...... · 发表于 2010-9-16 21:06:46

好象与几何分布或泊松分布不可比拟.

还是这两个可比, 都是期望值无穷大, 不可实现. 我改写了一下, 每句对应起来, 看看我们能否找到共识

举个简单的例子, 我说在信封里放了钱, 从1到正无穷均匀分布(现金最小单位是分, 是整数域噢), 你不会相信吧. 因为每次抽样都是有限数, 再大都会觉得太小. 分布不是均匀的, 且偏重低端. 为什么再大的数都会觉得太小呢, 因为期望值是无穷大.

看看本题例子(只看一个信封), 庄家声称信封里放了钱, 1元概率是1/2,10元概率是1/4,100元概率1/8,..., 你不会相信吧. 因为每次抽样都是有限数, 再大都会觉得太小. 分布不是给定的函数, 且偏重低端(当N足够大后, 10^N的概率无法达到1/2^N). 为什么再大的数都会觉得太小呢, 因为期望值是无穷大.

由不可实现的概率模型, 导出某种荒谬不合理结果, 不是悖论的一种形式吗?

不要复杂化 · 发表于 2010-9-16 21:09:59

即便是按照你的假设，我也看不出来这个2^N递减的概率是怎么保证的？

假设庄家有Ｎ个箱子，每个箱子中有两个信封。如果是随机挑选的话，那任一个信封被选中的概率为1/N*1/2=1/(2*N)，这显然不是题中所说的1/(2^N)。注意我说的是“随机挑选”，由此得知题中的“换一个”决不是“随机”换一个！如果非要回答这个问题就是朝概率小的方向选(第一次)或换(N>1)。但这就会引出你更多的疑问......

所以说这是个伪命题！

不要复杂化 · 发表于 2010-9-16 21:51:20

实际上，这个问题有一点没交代，就是这个“换一个”不是完全“随机”意义上的换一个。因为我们知道，如果是随机的，那么任一信封被选中的概率为1/N(N为总信封数)。也许换一个角度就比较好理解了：问题的叙述仍不变，只是告诉你你必须通过一按钮让机械手去挑选，而这个机械手挑选箱子的概率分布如题所说，这样就较好回答了：因为你无法预知你第一次的结果(你无法操作机械手)，因此就不存在“当初”一说；并且题中计算的“换一个”后的概率也是基于“随机”(均匀)分布的，这本身就与它自己所说的概率分布矛盾，故此题根本不成立，是一标准伪命题。

...... · 发表于 2010-9-16 22:28:58

好, 不急, 我抽空下边推一推. 不过我们先达个共识, 就是

对楼主推导出第一次该换的过程和结论应该没有异议吧, 要有赶快告诉我.

看您很自信的样子, 想必您自己已经推导过了. 那么我想提醒两点, 免得被"条件概率"一叶障目:

1. 在两个信封都没打开时, 我之前提到过, 和第一次换相比, 客观上并没出现新的条件. 如果您的结果变了, 打算怎么解释呢?

2. 如果是您的结论是第二次换是损失的, 岂不是出现了"妙手"通过"一拿一换", 成功地得到了那神秘的"另外那个信封"?

不要复杂化 · 发表于 2010-9-16 22:41:55

实际上，这个问题有一点没交代，就是这个“换一个”不是完全“随机”意义上的换一个。因为我们知道，如果是随机的，那么任一信封被选中的概率为1/N(N为总信封数)。也许换一个角度就比较好理解了：问题的叙述仍不变，只是告诉你你必须通过一按钮让机械手去挑选，而这个机械手挑选箱子的概率分布如题所说，这样就较好回答了：因为你无法预知你第一次的结果(你无法操作机械手)，因此就不存在“当初”一说；再有，在知道了上一次挑选的结果后，换另一信封钱数变少的概率比便多的概率要大一倍，显而易见为什么要冒这个变少的风险。

概率期望值悖论 · 发表于 2010-9-16 23:38:43

这个悖论还是由无穷引起的。如果“有1/2^n的概率发生这样的事情”的n只取1到N，则悖论不存在（N任意大），因为你如果发现信封里有10^N元钱，你就不换了，如果小于这个数，那你就换一个。而n取遍所有自然数，就没有这么个上界，这个取到最多钱数的“终极情况”就在无穷处“消失”了。

这种无穷导致的概率悖论是很常见的。比如可以举出下面的例子，比LZ的例子要简单，但是悖论产生的原理是一样的，因而更容易看到问题出现的原因。

假设你做一个游戏，游戏的结果是你会随机得到报酬，你有(1/2)^n的可能得到10^n元。现在你做了一次游戏，假设得到了10^N元。你有一个机会，把游戏重玩一次（但要把已经得到的10^N元交回去），你愿意重玩么？按照数学期望的话，重玩总是有利的。但是，既然已经重玩必然有利，为什么不直接玩“第二次”呢？事实上，因为期望其实是无穷大的，因此你不管得到多大的一个（有穷的）结果，都小于期望。

...... · 发表于 2010-9-17 00:23:43

完全同意!

...... · 发表于 2010-9-17 04:30:49

您可能没看清题, 他是说换另一个, 每个箱子里只有两个信封(钱是10:1). 例如拿到的是100元, 换的可能是10元或1000元.

学生 · 发表于 2010-9-17 06:26:31

说得有道理！
lz原帖中，若把随机抽取的信封中的钱数看成一个随机变量，其期望值为正无穷大（这也是六点兄的许多议论中的可取之处），但其任何一个观察都具有限值。因此，任何一个待取的信封都比已打开看过的信封“好”，也就是说，“多多益善”。但对于任何两个没打开的信封，由于期望值都是正无穷大，它们是不能比较“好坏”的（我们不能说这个正无穷大比那个正无穷大，例如“正无穷大加1”，来得小）。在原帖中，把已打开并得知其中钱数（有限数）的信封想象成没打开（期望值为正无穷大），再去考虑“为什么我们不一开始就选择另外那个信封”，甚至后来还有人问“要不要换回来”及得到“换来换去”的结论，实际上是混淆了条件概率（比“好坏”的时候，条件期望值是用原始概率、条件概率，和相应的Bayes公式算出的有限值）和原始（“无条件”）概率（钱数期望值为正无穷大），偷换了概念，扔掉了已经用过的条件，从而导致矛盾（它是不是可以被称为“悖论，有待商榷，因为这矛盾是由于推理者的犯错而得来的）。如果第一个信封已被打开看过（钱数是有限的），继而换取第二个信封以期得到较多的钱，在所给的模型下是合理的选择。但若第一个信封没被打开，其钱数期望值仍是正无穷大，那就没有必要换取另一个（第二个）信封了。至于“换来换去”，那是无稽之谈。www.ddhw.com

您给出的简单例子，很能说明问题。在观察值有限而期望值是无穷的情况下，比较两个观察值（给定的样本值）的大小是可以的，比较一个观察值和一个期望值也是可以的（一个的观察值小于另一个的期望值），但不能由此得出一个的期望值也小于另一个的期望值的结论。两个正无穷大是分不出大小的。所谓“悖论”的出现，是把给定的样本值和期望值混淆了，也就是把“给定”这个条件扔掉了。

回到lz原题，我的答案是：若所选的信封已打开，知道了其中钱数，则要求换个信封是明智之举，钱数期望值大于已知的钱数；若所选的信封没有打开，则两个信封中钱数的期望值都是正无穷大，这就没有必要换。
这就是说，不存在什么“换来换去”的“悖论”。

至于说因为期望值是无穷大，无法实现，从而产生“悖论”，实在无法苟同。数学模型中涉无穷大的例子不少，现实中也不可能绝对精确地实现模型，但人们还都在讨论研究、都在应用，没见都成“悖论”。能否精确实现决不是lz问题的实质。www.ddhw.com

...... · 发表于 2010-9-17 08:19:14

所有信封里的钱都是有限的数(与有界不同), 是10^N, 题目有交代, N再大也是数, 与打不打开没关系. 无限大不是数, 而是个极限概念.

期望值无限大是有限数经过无限求和引出来的.

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-17 10:30:44

学生哥的答案不错。

那原帖中“既然总是换个信封好些，那么为什么我们不一开始就选择另外那个信封呢？”的提问，是基于一种概念偷换：把“第二个信封内有多少钱的期望值比第一个信封内有多少钱的观察值大”偷换成了“第二个信封内有多少钱的期望值比第一个信封内有多少钱的期望值大”。那所谓的“悖论”“换来换去”的提出，是因为在计算换过信封后再换回去的条件期望值时应该用的新的条件概率（新加条件是：第一个信封的x已固定于某一值）被偷换（注：这里不是说某人在故意偷换，而是指过程中不易被人，甚至包括提出者，察觉的细节改变）为先前的（无新加条件的）条件概率。所以，俺先前建议六点朋友动手算一算，别想当然地以为换过一次之后再考虑是否还要换回去时能跟原先完全一样来计算条件期望。弄清楚了这两次计算条件期望的差异（条件不同了！），就自然不会再有“换来换去”的所谓“悖论”了。

现在，朋友们可以再来看看，lz的这个题能不能算是“悖论”题。

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-17 10:51:59

您说的“无限大不是数, 而是个极限概念. 期望值无限大是有限数经过无限求和引出来的”没错，“正无穷大”只是个记号。但在数学中把全序空间左闭右开区间[0，正无穷大）扩展为全序空间闭区间[0，正无穷大]，即把“正无穷大”看作一个特殊的“数”，也是常见且是方便的。Topology中不是还有一个“一点紧化”吗。所以，学生哥帖中有关用词不必“纠正”。

此前您的那句话，似乎缺乏针对性。

...... · 发表于 2010-9-17 11:18:19

本想逐字逐句地点评一下, 发现太花时间, (不是怠慢, 是怕耽误交流).

提请注意几点:

1) 上面说了, 钱数是有限的是已知的事实. 打开不打开信封, 都不改变.

2) 此题的期望值为无穷大的概率分布不可实现. (不要和无穷大域混淆)

3) 只打开一个信封, 几乎得不到什么有用的信息. (说几乎是因为有个特例, 就是打开看到了1元.) 根据1) 推理中打不打开都无所谓.

4) 希望靠条件概率去解释问题恐怕会落空, 因为客观上没有新的条件出现. 拿起来,放下,换一个等等动作, 其实都没改变原始状态.

5) 根据给定的(不可实现的)概率分布, 能得到违背常识的结果, 既可以推出B比A好(楼主已推到过), 也可以推出A比B好. 悖论在此!

要深思熟虑, 不要急于下结论.

...... · 发表于 2010-9-17 11:23:55

10^N可不是特殊的数, N是正整数, 无穷大那边是开的.

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-17 11:49:16

俺实在是有点笨，还是看不懂您那第三、第四两段在说啥。不知道您用的是哪门专业的术语，哪国语言的逻辑结构。既不是S（数）学，又不象W（物理）学，莫非是X学？再说，俺从来没听说过什么“从1到正无穷均匀分布”，还有什么“现金” “是整数域”（钞票面值有负的多少分的？俺不知道您的“整数域”是怎么定义的。）

，这些只有“大数学家”才有的新“知识”得向您请教了。坛上若有仁人志士，亦清多多指教。

看了您的“由不可实现的概率模型, 导出某种荒谬不合理结果, 不是悖论的一种形式吗?”，俺真不明白为什么您总是不顾俺的建议去想想用数学上的整数替代现实生活中钱数之后的相应问题呢？在此，再次建议您去想一想，在这样修改后的问题中，还“不可实现”吗？下面学生哥和俺的帖子中已清楚地指出了所谓“悖论”的由来。它与可不可“实现”无关，而是由于推理者犯错误（偷换概念）所造成的。

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-17 12:00:06

请看俺下面的帖子，也许其中内容已化解了您的问题。如果还有问题，请再提。
盼“推一推”后，把“推”的步骤、所用的公式和量值、以及所得的结果告知。多谢！

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-17 12:22:18

大家都“要深思熟虑, 不要急于下结论.”
别的不用多说了，许多道理都在学生哥和俺在这24小时内的新帖中阐明了，lz原题的答案学生哥也给了（对错就请大家评论吧，反正俺投赞成票）。请再仔细看看想想。
俺在这里向您提个问题（其实，它已在俺的帖子中回答了，只是您没有看进脑子里去），也许能有助于解决争论：您在（5）中所说的“B比A好”中的A是什么？而在“A比B好”中的A又是什么？它们是一个东东吗？想清楚了这个，问题就解决了一多半了。

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-17 13:01:48

俺可没说过"10^N" "是特殊的数"，也没说过"N"等于无穷大啊! 俺只是说：把全序空间左闭右开区间[0，正无穷大）扩展为全序空间闭区间[0，正无穷大]，即把“正无穷大”看作一个特殊的“数”，也是常见且是方便的。其中“数”是有引号的，即，它不是数，只是把它放到非负数一起，仍不失全序空间所要求的按序可比性，即扩张了原来的全序空间。您的话“10^N可不是特殊的数, N是正整数, 无穷大那边是开的.”岂不是无的放矢？是不是又是随便说说的废话？

请解释，您的标题中所说的“可就偷换概念了”是什么意思？拿什么“偷换”了什么“概念”了？能不能说清楚点？

在这脑坛上曾有把别人的话歪曲篡改后再加以抨击的个例，其下场如何，有目共睹。标题党的做法，也被人唾弃。

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-17 13:17:18

请查看，在实分析（内地通常叫实变函数论）或测度论中是如何把正无穷大放到非负实数集中，一起作为测度的值域的。俺老师的几本专著中也都有类似的表述。

深思熟虑 · 发表于 2010-9-17 14:22:21

是悖论题吗？

深思熟虑 · 发表于 2010-9-17 14:27:38

最终证明还真是土坯啊！都碎成土渣滓了。谁能接得住？

...... · 发表于 2010-9-17 18:16:26

那就不是本题了

...... · 发表于 2010-9-17 18:42:22

A, B分别代表箱中的两个信封, 可作为标签贴上去.

要深思熟虑, 不要急于下结论. 是想说去尝试把我列出的5条逐步建立起共识, 再做结论. www.ddhw.com

学生哥这句开场白说得精彩:

若把随机抽取的信封中的钱数看成一个随机变量，其期望值为正无穷大，但其任何一个观察都具有限值。

建议大家在这停一停, 把它的内涵都挖掘出来, 离结论真的就不远了.

...... · 发表于 2010-9-17 18:56:40

所有信封里的钱都是有限的数(与有界不同), 是10^N, 题目有交代, N再大也是数, 与打不打开没关系. 无限大不是数, 而是个极限概念.

期望值无限大是有限数经过无限求和引出来的.

所说的数, 都是同一概念, 不包括特殊的"数".

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-17 20:49:21

欣赏您的“离结论真的就不远了. ” 俺也有这样的感觉。

那好，明确了A和B指的是那两个信封后，请进一步分别说清楚“B比A好”以及随后的“A比B好”的确切含义。既然您已承认学生哥说的“若把随机抽取的信封中的钱数看成一个随机变量，其期望值为正无穷大，但其任何一个观察都具有限值。”并加以赞扬

，那么在解释“B比A好”及“A比B好”时请务必分清“信封中钱数的期望值”和“信封中钱数的观察值”这两个不同的概念。这样，就能看出您这两个A的含义是否相同，“离结论真的就不远了. ”

...... · 发表于 2010-9-17 21:45:15

悖论在最后的提问之前就存在了. 从一开始的概率分布就埋伏好了. 必然引出荒唐甚至可笑的结果.

"既然总是换个信封好些"已经就是荒唐的结果了.

"换来换去"只不过是把这个荒唐进一步放大到可笑的地步. 以使没有意识到第一个荒唐的人看得到.

来个更直观的. 用不着计算条件概率.

派两人去, 甲乙两人各拿一信封, 经过严格的概率推算后, 彼此互相交换. 就双赢了? 有这样的好事吗?

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-17 21:49:45

您这帖的内容与其标题是什么关系？“那就不是本题了”中的“那”指的什么？帖中内容并没有显示出您对“扩张[0，正无穷大）到[0，正无穷大]”的做法有什么反对意见。事实上，把正无穷大加入到非负实数集里面去，丝毫未改变原来非负实数集所具有的好性质，丝毫未影响您所说的几个“数”的含义以及它们之间的关系（这就是“扩张”这词的特定含义）。而加进正无穷大，正好“紧(compact)化”了原来非紧的左闭右开区间（请没有“紧性”这一概念的朋友，有兴趣的话，去参阅 General Topology 方面的书。不过，没有这个概念也无妨，只要理解“正无穷大”比任何实数都“大”就可以了，这跟正无穷大的极限含义是相符的。），这在数学上是十分方便的，也对lz本题的解决是有帮助的。既然您已接受了学生哥的“其期望值为正无穷大”的说法(这不已经把正无穷大看成值了吗！)，难道您还反对建立起有限数跟正无穷大之间的可比关系？

顺便提一下，发帖和回帖时请注意不要语焉不详、让人不知所云，以节省您、俺、及广大网友的时间。

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-17 22:52:26

构lz本题者，不是无意中犯错，就是故意设局、供大家思考明辨。所以，俺在lz刚贴出本题时就叫好。

某个有限值随机变量的期望值是正无穷大，这在概率论中并不鲜见（在微积分中，某个非负值函数在某个区间上的定积分为正无穷大更是常见。而有限值随机变量的期望值就是随机变量在概率空间上按概率测度的抽象积分），其本身不是什么“悖论”。由于其期望值总“大”于（按俺已经解释过的全序）观察值，这就为使用者犯错提供了“土壤”。“引出荒唐甚至可笑的结果.”是犯错者的错误造成的，怎么能怪罪于那个随机变量呢！（说个笑话吧。有人在某地种植鸦片被查获，此人申冤说：这不是我的罪过，是那地的错！）您的‘"换来换去"只不过是把这个荒唐进一步放大到可笑的地步’倒是说得很对，这“放大”正是您做的啊！至于“以使没有意识到第一个荒唐的人看得到.”中所说的“第一个荒唐的人”，不是构题者（俺相信不是他）就是第一个在这里解题时犯错的人。但这句话还是让人难以看懂。

您的“派两人去, 甲乙两人各拿一信封, 经过严格的概率推算后, 彼此互相交换. 就双赢了? 有这样的好事吗? ”还是语焉不详，能不能改一改作风，说得具体点、详细点？信封里装的什么、概率推算什么、赢的标准是什么，怎么都不说？总这样含含糊糊，就会让人怀疑您是不是故意如此，让人难以回帖，以显得自己学问高深莫测？

别的人 · 发表于 2010-9-18 00:21:05

哈! 总算放弃了"不可实现"造成了"悖论"的武断。谢天谢地！

...... · 发表于 2010-9-18 00:43:09

明天要出门, 国内多年前的老同学也要来, 怕近期没时间陪诸位.

其实我也很忙, 我想大家也一样.

作为脑坛老朋友(跟HU兄差不多老), 看到脑坛有些冷清, 本想来个抛砖引玉就走, 结果没走成, 大家都看到了.

仔细思考之后, 发现我们之所以谁也说服不了谁, 是因为有点盲人摸象了.

往后退一点的话, 有一条共识足矣. 就是这个概率分布不可实现.

如果还不理解的话, 查一下圣彼得堡悖论有关话题看是否有帮助.

在这个不可实现的概率分布下, 会得出各种相互矛盾的结论.

就象出现矛盾方程一样, 如

X+1=X+2

甲得出1=2, 乙能得出1=3, 丙能得出1=100, 等等. 推理都对, 越离奇越容易看出方程之矛盾.

"换来换去"其实是矛盾结论之一. 妙手得到"神秘信封"也是矛盾结论之一.

另外归属悖论问题也不必质疑了, 前面高人已将它对号入坐了.

如果同意的话, 我们就到此为止吧, 确实有些累了. 你们呢?

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-18 01:55:11

俺再花点时间来评论一下您的五条，请您回答、给出理由表明同意或不同意。仍按您的编号，着灰色部分是您原话，不着色部分是俺说的。
1) 上面说了, 钱数是有限的是已知的事实. 打开不打开信封, 都不改变.
如前所述，把随机抽取的信封内的钱数看成一个随机变量，打开信封看到的钱数是观察值，没打开的信封中的钱数只能以其数学期望（简称期望值）来估计。既然您已接受学生哥上面的有关说法，应当知道期望值和观察值不是一个东东。在推理时应严加区分，不要偷换。www.ddhw.com

2) 此题的期望值为无穷大的概率分布不可实现. (不要和无穷大域混淆)
什么叫“不可实现”？按您的理解，请举几个不是“不可实现”的例子。在概率论中，人们常用的有关词是well defined，且不难举出well defined 具有正无穷大期望值的随机变量的例子，本题所涉的就是其中一例。您所说的“无穷大域”指的是什么，请解释。www.ddhw.com

3) 只打开一个信封, 几乎得不到什么有用的信息. (说几乎是因为有个特例, 就是打开看到了1元.) 根据1) 推理中打不打开都无所谓.
打开一个信封看了，就得到上述随机变量的一个观察值。这就是信息。有没有用，因人而异; 不会用，当然就觉得没用。至于“推理中打不打开”是否“无所谓”，在（1）中已阐明。
4) 希望靠条件概率去解释问题恐怕会落空, 因为客观上没有新的条件出现. 拿起来,放下,换一个等等动作, 其实都没改变原始状态.
只是您一厢情愿地盼“落空”。实际上，有了一个新的观察值，就是有了一个新条件。“其实都没改变原始状态”在这里不能说明问题，因为“要不要换”的决策的依据不是那不经打开就谁也不能确切知道的“原始状态”，而是依赖于对观察值和期望值的分析比较。您的“动作”中怎么不提“打开看”呢？正是这个“动作”给出了上述随机变量的观察值、影响了它的条件期望值，而“要不要换”的决策恰恰是依赖于那条件期望值and/or观察值的。犯错恐怕大多是因为没搞清楚这个道理。
5) 根据给定的(不可实现的)概率分布, 能得到违背常识的结果, 既可以推出B比A好(楼主已推到过), 也可以推出A比B好. 悖论在此!
已经评过了，不再重复。仅再问一下，“悖论” 还“在此” 吗？

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-18 03:34:24

俺只懂概率分布是不是well defined，而不懂您的“不可实现”，不知道按您的理解怎么才算“可实现”。举个例子看: 掷个硬币，得正面还是反面，说概率分布是（1/2，1/2），俺认为这是well defined。您能实现吗？您到哪里去找那两面绝对对称的硬币？您如何保证抛起它的时候的用力对两面绝对平等？理论模型跟现实问题的差异总是存在的，只要近似到人们可接受的程度，就有价值。理论模型一定要在理论上well defined。lz本题中随机变量的期望值为正无穷大，理论上是well defined。现实中可以用近似的有限情况来模拟，并用取极限观点来分析。
您要是觉得“圣彼得堡悖论有关话题”对此题“有帮助”，能转贴出来，帮助大家（特别是俺）不更好吗？
至于您的“在这个不可实现的概率分布下, 会得出各种相互矛盾的结论.
就象出现矛盾方程一样, 如
X+1=X+2
甲得出1=2, 乙能得出1=3, 丙能得出1=100, 等等. 推理都对, 越离奇越容易看出方程之矛盾.”，实在是看不出跟本题有什么关系。这方程问题从矛盾出发，即使推理都对，得出各种矛盾是毫不奇怪的事，学过逻辑学的人都知道。但在讨论本题时，题中给出的概率分布是well defined，现有的数学工具完全可以处理，仅仅因为您的推理出错，从而得到矛盾，还把这种矛盾称作为“悖论”！您要是能静下心来，好好想想俺在上面帖出的评论和提出的问题，也许您就不会这么固执了。俺可对您提出的问题都给了回音（如有遗漏的，请提醒，俺尽力而为），可您怎么总回避俺提的问题呢？一而再，再而三地、自说自话，这叫讨论吗？还真有学生哥所指的那种"金牌"风格！
世上为一部分人已接受的东东，不一定都是正确的，因为那都是人创造出来的。咱们也都是人，讨论讨论也许也能创造出点东东来。不久前俺帖出的关于离散型随机变量的定义的讨论（还在此页）就是发现在好多教科书和网站上该定义存在问题。这可算是概率论的基础知识之一了吧。您能回答吗？
矛盾是不是都可叫悖论，也是可商榷的。任何错误都有可能导致某种矛盾，例如，一人计算1+1时得3，可别人得的是2，矛盾啊，这叫悖论吗？
耽误您办正事，不好意思！俺也可算是半老网友了，多谢您继"金牌"、"随便"之后又让脑坛不“冷清”了一番！

...... · 发表于 2010-9-18 08:53:51

白马是马.

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-18 09:22:13

连这种帖子都能贴到脑坛来？可怜的QL！

别的人 · 发表于 2010-9-18 11:13:27

想错说错了，更正了就行。坛上没人会耻笑，何必扯那白马非马的典故来当遮羞布、来暗讽别人呢！肚子里那点墨水，除了白马是马，还总够写那欲盖弥彰四个字吧。
感谢Hu兄贴出了好题！看了这些跟帖回帖，长了学问、也长了见识。但还真没想到，坛上竟有能跟那金牌一拼的勇士，虽然几年来那勇气中已流露些许牌气。现在看起来，按那水平堪称银牌。
有本事就具体算算那些概率，再作结论。光千遍万遍地说无穷-不可实现-悖论，东拉西扯，别人能信服吗！
真相已大白，希望学生和Lili把问题的解答整理后贴出共享。

...... · 发表于 2010-9-18 19:10:43

观察值和期望值的南辕北辙总得有个说法.

别得说多了没用.

HF: · 发表于 2010-9-18 20:31:24

QL 是啥意思？

<冷眼看戏的Lili®>：回复：长学问了

连这种帖子都能贴到脑坛来？可怜的QL！

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-18 20:35:34

您不是已接受了学生哥帖子中的“期望值”和“观察值”的论断并予赞扬了吗（见https://www.topchinesenews.com/readpost.aspx?topic_id=9&msg_id=8767&level_string=0z11z02z03z01z01&page=1）？怎么又反悔了？这回是笔误还是真反悔，请予澄清，以免别人误解了您，影响坛上声誉。

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有趣而费解的题: 到底该换还是不该换?

别着急。您要是自己想明白了不更好吗。

回复：回复：回复：回复：回复：回复：回复：回复：那您是随便说说，都是题外话吧。

这样是否好懂些.

回复：回复：回复：有趣而费解的题: 到底该换还是不该换?

终结者：有趣而费解的题: 到底该换还是不该换?

回复：别着急。您要是自己想明白了不更好吗。

更正：终结者：有趣而费解的题: 到底该换还是不该换?

回复：有趣而费解的题: 到底该换还是不该换?

完全同意! [>:D<]

回复：终结者：有趣而费解的题: 到底该换还是不该换?

回复：回复：有趣而费解的题: 到底该换还是不该换?

重要一点看看是否该纠正.

回复：回复：回复：有趣而费解的题: 到底该换还是不该换?

学生哥帖中有关用词不必“纠正”。

还有不少说法值得商榷.

您要用特殊的"数", 可就偷换概念了.

俺实在是有点笨，还是看不懂.[:>]

回复：回复：别着急。您要是自己想明白了不更好吗。

回复：还有不少说法值得商榷.

回复：您要用特殊的"数", 可就偷换概念了.----标题党的做法，被人唾弃!!!

关于正无穷大

回复：回复：回复：我只是抛个砖, 希望看到你的玉. [:-M]

回复：回复：回复：我只是抛个砖, 希望看到你的玉. [:-M]

那就不是本题了

回复：回复：还有不少说法值得商榷.

回复：那就不是本题了

回复：回复：回复：还有不少说法值得商榷.

回复：回复：回复：回复：有趣而费解的题: 到底该换还是不该换?

回复：回复：那就不是本题了

回复：回复：回复：回复：回复：有趣而费解的题: 到底该换还是不该换?

回复：完全同意! [>:D<]

如果同意的话, 我们就到此为止吧.

回复：还有不少说法值得商榷.

回复：如果同意的话, 我们就到此为止吧.

长学问了. 此前我一直以为

回复：长学问了

回复：白马是马

有所期待.

QL 是啥意思？

回复："南辕北辙"? 怎么又反悔了？