P点为封闭连续曲线L所围成的平面区域内部的任意一点，证明在封闭曲线L 上总存在两个点A,D

野菜花 · 发表于 2006-11-8 21:46:26

使线段AD被P平分。

看以看 · 发表于 2006-11-8 23:19:23

在曲线上任意找一点A, 通过A, P 作直线，交曲线与D.
1. 如AP = PD. 命题成立。
2. 如AP > PD, 也即PD < AP. 以P 为轴心，转动直线，称此直线与曲线之交点为A', D'. 当A' D' 与A D 重合时， A'P > PD', A' D' 与 DA 重合时, A'P < PD'. 又，此线段长度变化为连续。故在转动直线过程中，必有一位置，使A'P = PD'.
3. 如AP < PD, 同上。

野菜花 · 发表于 2006-11-8 23:48:55

constant · 发表于 2006-11-8 23:55:52

这个要是凸曲线才行，不然要转来转去拐一阵子

野菜花 · 发表于 2006-11-9 01:22:54

constant · 发表于 2006-11-9 02:19:01

底边上是不是可以找到两个点？

野菜花 · 发表于 2006-11-9 02:53:04

You are right! 在我脑子里已把题目换成: 过P点作一条直线交封闭曲线为两点A，D，使得AP=PD

yinyin · 发表于 2006-11-9 09:03:06

If the point is moved downward a little,it forms a counterexample.

foolcatjr · 发表于 2006-11-9 12:15:18

这个反例没找好，当然可以找到。

在那条“直径”上的某一点即可。

野菜花 · 发表于 2006-11-9 18:52:48

应该可以找到两点的，我等下画个图。

野菜花 · 发表于 2006-11-9 18:55:59

我原来的例子就是直径上的某一点。

野菜花 · 发表于 2006-11-9 21:00:50

过P点做一直线交封闭曲线两点B，C。封闭曲线被分成两部分。关于P点作弧BC的对称图形弧C‘B’，交封闭曲线于A，连接AP并延长交封闭曲线于D. AP=PD

这也可作一般情况的一个证明。

本贴由[野菜花]最后编辑于：2006-11-9 13:4:37

constant · 发表于 2006-11-9 21:55:40

C‘B’和原来的闭曲线不一定相交。这时C‘和B’都在曲线内部，BC的另一侧。再用曲线的另一半CB做对称像就一定相交了。

野菜花 · 发表于 2006-11-9 23:33:20

Thanks!

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P点为封闭连续曲线L所围成的平面区域内部的任意一点，证明在封闭曲线L 上总存在两个点A,D

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这个要是凸曲线才行，不然要转来转去拐一阵子

可能题目需要凸曲线，否则你看我这个是不是反例?（图）

底边上是不是可以找到两个点？

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请看图:（图）

好极了，但是还要再改进一点：

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