一道平面几何题

野菜花 · 发表于 2005-4-29 02:25:19

E， F 为任意凸四边形 ABCD的对边 AD， BC 的中点， M为对角线 BD延长线上任意一点，若直线 ME， MF 分别与四边形 ABCD 相交与 P， Q 两点，求证： EF 平分 PQ。

怀疑1 · 发表于 2005-4-29 06:56:35

有这个：

(AP/PB)(BM/MC)(CE/EA)=1,

因为CE=EA， AP/BP=CM/BM,

类似可得 DQ/CQ=CM/BM.

所以 AP/BP=DQ/CQ。

下面证法就多了，可能用解析几何容易些。比如说，假定EF 为 y 轴。假设 P， Q 的坐标分别是

tA+(1-t)B 和 tD+(1-t)B. 则他们的y坐标之和应为零。注意到这个和次数不高于一次，而 t=0, 1/2, （1, 1/4, 3/4, ......）时这个和都是零。所以其必恒等于零。

（我也是以前的“怀疑”，不过这个名字被注册了。以前怀疑是这里的好事者做的，现在看来不是。瞎玩玩而已。）

怀疑1 · 发表于 2005-4-29 06:57:53

应该是 x 坐标之和。

野菜花 · 发表于 2005-4-29 07:40:29

看来你的方法不错，不过你的字母排序好像与题目不同，看不真切。(题目中

ABCD是顺时针方向或逆时针方向，也就是AD，BC 是对边不是对角线，E是AD的中点，所以AE=ED)

此题也可完全用初中平面几何知识做。

怀疑1 · 发表于 2005-4-29 09:23:15

有这个：

(AP/PB)(BM/MD)(DE/EA)=1,

因为DE=EA， AP/BP=DM/BM,

（转自：顶顶华闻 www.TopChineseNews.com ）

类似可得 DQ/CQ=DM/BM.

（转自：顶顶华闻 www.TopChineseNews.com ）

所以 AP/BP=DQ/CQ。 (这个比例关系也许是问题的本质吧。）

（转自：

顶顶华闻 www.TopChineseNews.com ）

下面证法就多了，可能用解析几何容易些。比如说，假定EF 为 y 轴。假设 P， Q 的坐标分别是

tA+(1-t)B 和 tD+(1-t)C. 则他们的y坐标之和应为零。注意到这个和次数不高于一次，而 t=0, 1/2, （1, 1/4, 3/4, ......）时这个和都是零。所以其必恒等于零。

（上面最后一段其实是为了免于添辅助线又不想真正计算。这题很有趣。）

野菜花 · 发表于 2005-4-29 18:31:54

你的“应该是

x 坐标之和”的 post 仍然有效吧？

iamidiot · 发表于 2005-4-30 03:39:48

(AP/PB)(BM/MD)(DE/EA)=1

野菜花 · 发表于 2005-4-30 05:03:19

题目：

E， F 为任意凸四边形 ABCD的对边 AD， BC 的中点， M为对角线 BD延长线上任意一点，若直线 ME， MF 分别与四边形 ABCD 相交与 P， Q 两点，求证： EF 平分 PQ。

要证明

EF 平分 PQ，只要证明这两个以EF为同底的三角形PEF 和QEF面积相等，这样P和Q到EF的垂直距离相等，自然就得 EF 平分 PQ。

用

S(PEF)表示三角形PEF的面积。

取

BD的中点N，连EN，FN，则EN//AB， FN//CD

S(PEF) / S(MEF) = EP / EM = NB / NM

S(QEF) / S(MEF) =FQ / FM = ND / NM

因为

ND=NB，S(PEF)=S(QEF)

野菜花 · 发表于 2005-4-30 07:29:47

这个证明不是我的。

怀疑1 · 发表于 2005-5-2 13:58:48

如图，要证明 (AF/FB)(BD/CD)(CE/EA)=1.

AF/FB=S(AED)/S(BED), S(AED) 代表三角形AED的面积，等等。

BD/DC=S(BED)/S(CED),

CE/EA=S(CED)/S(AED).

乘起来后即得之。

这个定理很简单，也比较好用。也许有个名字，也许没有。

平面几何的发烧友，面积法一定要掌握哟。也可以记住这个定理。

怀疑1 · 发表于 2005-5-2 14:26:02

当然这显得比野菜花的证明复杂。不过背后都是面积法。

冰 · 发表于 2005-9-2 16:07:39

我问一下把正方体分成7份要怎么分?

原贴：

文章来源: 野菜花® 于 2005-4-29 21:3:19
标题：回复：用初中平面几何知识怎么解呀？

题目：

E， F 为任意凸四边形 ABCD的对边 AD， BC 的中点， M为对角线 BD延长线上任意一点，若直线 ME， MF 分别与四边形 ABCD 相交与 P， Q 两点，求证： EF 平分 PQ。

要证明

EF 平分 PQ，只要证明这两个以EF为同底的三角形PEF 和QEF面积相等，这样P和Q到EF的垂直距离相等，自然就得 EF 平分 PQ。

用

S(PEF)表示三角形PEF的面积。

取

BD的中点N，连EN，FN，则EN//AB， FN//CD

S(PEF) / S(MEF) = EP / EM = NB / NM

S(QEF) / S(MEF) =FQ / FM = ND / NM

因为

ND=NB，S(PEF)=S(QEF)

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应该是 x 坐标之和。

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不好意思。完全搞混了。修正。

Smart! [@};-][@};-]

Could anybody explain why

回复：用初中平面几何知识怎么解呀？

原来红罂粟也是个数学爱好者，我们真有缘啊！[>:D<][>:D<]

[:B] 也是面积法（图）

这个定理用三次，可证明原命题。

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