(1981 年 美 国 奥 赛 题 ) 已 知 一 角 大 小 为

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180/n, 其 中 n 为 不 能 被 3 整 除 的 正 整 数 。 证 明 ： 这 个 角 可 以 用 欧 几 里 德 的 作 图 工 具 (园 规 和 直 尺 )三 等 分 。

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If n = 3k + 1, then (180/n) * (2k+1) - 120 = 60/n. If n = 3k + 2, then (180/n) * (k+1) - 60 = 60/n. www.ddhw.com

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  So quick! PF!

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How to determine an angle can be trisected by a ruler and a compass? I don't understand your solution. Thankswww.ddhw.com

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Since angle 180/n is given, to trisect it, we need draw an angle of 60/n.   fry has found the following identities:  www.ddhw.com If n = 3k + 1, then (180/n) * (2k+1) - 120 = 60/n. If n = 3k + 2, then (180/n) * (k+1) - 60 = 60/n.   As angle 180/n is given, we may draw angles with any multiple of this given angle, and to get an 60 degree angle, we only need to draw an equilateral triangle, thus we may also get 120 degree angle. www.ddhw.com

y

How can you draw an angle such as 60/5 or 60/7?  Thanks. www.ddhw.com

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for this question? www.ddhw.com

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Yes.   Form the previous post, you said: ----- Since angle 180/n is given, to trisect it, we need draw an angle of 60/n.www.ddhw.com （转自：顶顶华闻 www.TopChineseNews.com ） fry has found the following identities: （转自：顶顶华闻 www.TopChineseNews.com ） If n = 3k + 1, then (180/n) * (2k+1) - 120 = 60/n. If n = 3k + 2, then (180/n) * (k+1) - 60 = 60/n. ----- Therefore, when k=1, n = 4 or 5.  Whenk=2, n=7 or 8.  60/n would be 60/5 and 60/7.  By the way, do you mean 180/n degree or it can be radius or both?   Thanks a lot.   www.ddhw.com

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180/n, I meant degree.   when n=5, we are given an angle of 180/5=36 degree, we need draw a 12 degree angle, 36*2-60=12.  www.ddhw.com 以 已 知 角 的 顶 点 O为 园 心 ， 任 意 长 为 半 径 ， 画 弧 交 已 知 角 两 边 A， B，  以 B 为 园 心 AB长 为 半 径 ，在  AB弧 的 延 长 弧 上 截 取 C，连 接 OC， 这 样 角 AOC=72度 ， 再 分 别 以 O， A 为 园 心 ， OA 长 为 半 径 ， 划 弧 相 交 于 角 AOC 内 D点，连 接 OD，  (OAD 是 等 边 三 角 形 ) 这 样 角 COD=12度 。    其 它 也 类 似 。         www.ddhw.com

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For other n, it will take some time to figure out how to trisect the 180/n degree of angle.www.ddhw.com