怎么解？

新用户 · 发表于 2005-2-3 15:46:31

如果数字不能重复，求用数字1，3，5，7，9组成的，所有大于10000的不同的数的和。

也就是说，更换数字1，3，5，7，9的位置（个位，十位，百位，千位，万位）组成的所有不同数的总合。www.ddhw.com

husonghu · 发表于 2005-2-3 21:11:26

答案：6666600

解法(若理解错了或做错了，请高手指正)：

这样的5位数字个数总数 = 5！= 120
每个数码(digit)在每个位置出现次数 = 4！= 24
各个位置上的数码总和 = (1+3+5+7+9)*24 = 600
故所求总和 = 600*(10000+1000+100+10+1) = 6666600

husonghu · 发表于 2005-2-3 21:30:17

120个5位数的平均值 = [13579(最小的)+97531(最大的)]/2 = 55555
故所求总和 = 55555*120 = 6666600

在两种算法中，都用到了每个digit在每个位置等几率出现的概念。

新用户 · 发表于 2005-2-3 21:39:45

妙！这个方法好。

但是，用这种方法就要求这些所有的120个数的关系为等差数列，怎么能证明他们为等差数列呢？

husonghu · 发表于 2005-2-4 06:13:11

这120个数并不成等差数列。比如：
最小13579，次小13597，差18；
次小13597，第三小13759，差162；
.......

我试着另类“证明”(其实只是“说明”而已)，用120*55555(平均值)=6666600来算
是对的：

从个位数看，1、3、5、7、9在0与10区间对称分布，以5为对称中心；
从十位数看，10、30、50、70、90在0与100区间对称分布，以50为对称中心；
从百位数看，100、300、500、700、900在0与1000区间对称分布，以500为对称中心；
从千位数看，1000、3000、5000、7000、9000在0与10000区间对称分布，以5000为
对称中心；
从万位数看，10000、30000、50000、70000、90000在0与100000区间对称分布，以
50000为对称中心；

故，符合题意的数的集合中，所有的120个元素在0与111110区间成对称分布。也即，
对任何一个元素，都可以在区间内找到它的镜像反映，比如，35179的镜像是75931，
因为(找镜像就是从个、十、百、千、万位数找对应的镜像，再相加)：

35179=30000+5000+100+70+9
它的镜像=70000+5000+900+30+1=75931

对称中心是50000+5000+500+50+5=55555，也即0与111110的中值。
此中值也就是所有120个元素的平均值，可由取最小的和最大的元素的平均值求得：

(13579+97531)/2=55555

所以这120个元素的总和是：

120*55555=6666600

新用户 · 发表于 2005-2-5 05:28:47

看懂了，我觉得解释的有道理

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更简单的算法

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唉，高手们还不出手帮一把。我硬着头皮再来一试。[:%]

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