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经典悖论漫游

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发表于 2004-12-27 09:48:47 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式

【经典悖论漫游(上)】

古今中外有不少著名的悖论,它们震撼了逻辑和数学的基础,激发了人们求知和精密的思考,吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考,悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。

本文将根据悖论形成的原因,粗略地把它归纳为六种类型,分上、中、下三个部份。这是第一部份:由概念自指引发的悖论和引进无限带来的悖论

(一)由自指引发的悖论

以下诸例都存在着一个概念自指或自相关的问题:如果从肯定命题入手,就会得到它的否定命题;如果从否定命题入手,就会得到它的肯定命题。

1-1 谎言者悖论 www.ddhw.com

公元前六世纪,哲学家克利特人艾皮米尼地斯(Epimenides):“所有克利特人都说谎,他们中间的一个诗人这么说。”这就是这个著名悖论的来源。
《圣经》里曾经提到:“有克利特人中的一个本地中先知说:‘克利特人常说谎话,乃是恶兽,又馋又懒’”(《提多书》第一章)。可见这个悖论很出名,但是保罗对于它的逻辑解答并没有兴趣。

人们会问:艾皮米尼地斯有没有说谎?这个悖论最简单的形式是:

1-2 “我在说谎”

如果他在说谎,那么“我在说谎”就是一个谎,因此他说的是实话;但是如果这是实话,他又在说谎。矛盾不可避免。它的一个翻版:

1-3 “这句话是错的”

这类悖论的一个标准形式是:如果事件A发生,则推导出非A,非A发生则推导出A,这是一个自相矛盾的无限逻辑循环。拓扑学中的单面体是一个形像的表达。 www.ddhw.com

哲学家罗素曾经认真地思考过这个悖论,并试图找到解决的办法。他在《我的哲学的发展》第七章《数学原理》里说道:“自亚里士多德以来,无论哪一个学派的逻辑学家,从他们所公认的前提中似乎都可以推出一些矛盾来。这表明有些东西是有毛病的,但是指不出纠正的方法是什么。在1903年的春季,其中一种矛盾的发现把我正在享受的那种逻辑蜜月打断了。”

他说:谎言者悖论最简单地勾画出了他发现的那个矛盾:“那个说谎的人说:‘不论我说什么都是假的’。事实上,这就是他所说的一句话,但是这句话是指他所说的话的总体。只是把这句话包括在那个总体之中的时候才产生一个悖论。” (同上)

罗素试图用命题分层的办法来解决:“第一级命题我们可以说就是不涉及命题总体的那些命题;第二级命题就是涉及第一级命题的总体的那些命题;其余仿此,以至无穷。”但是这一方法并没有取得成效。“1903年和1904年这一整个时期,我差不多完全是致力于这一件事,但是毫不成功。”(同上)

《数学原理》尝试整个纯粹的数学是在纯逻辑的前提下推导出来的,并且使用逻辑术语说明概念,回避自然语言的歧意。但是他在书的序言里称这是:“发表一本包含那么许多未曾解决的争论的书。”可见,从数学基础的逻辑上彻底地解决这个悖论并不容易。 www.ddhw.com

接下来他指出,在一切逻辑的悖论里都有一种“反身的自指”,就是说,“它包含讲那个总体的某种东西,而这种东西又是总体中的一份子。”这一观点比较容易理解,如果这个悖论是克利特以为的什么人说的,悖论就会自动消除。但是在集合论里,问题并不这么简单。

1-4 理发师悖论

在萨维尔村,理发师挂出一块招牌:“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发。”有人问他:“你给不给自己理发?”理发师顿时无言以对。

这是一个矛盾推理:如果理发师不给自己理发,他就属于招牌上的那一类人。有言在先,他应该给自己理发。 反之,如果这个理发师给他自己理发,根据招牌所言,他只给村中不给自己理发的人理发,他不能给自己理发。

因此,无论这个理发师怎么回答,都不能排除内在的矛盾。这个悖论是罗素在一九○二年提出来的,所以又叫“罗素悖论”。这是集合论悖论的通俗的、有故事情节的表述。显然,这里也存在着一个不可排除的“自指”问题。

1-5 集合论悖论

“R是所有不包含自身的集合的集合。”

人们同样会问:“R包含不包含R自身?”如果不包含,由R的定义,R应属于R。如果R包含自身的话,R又不属于R。 www.ddhw.com

继罗素的集合论悖论发现了数学基础有问题以后,1931年歌德尔(Kurt Godel ,1906-1978,捷克人)提出了一个“不完全定理”,打破了十九世纪末数学家“所有的数学体系都可以由逻辑推导出来”的理想。这个定理指出:任何公设系统都不是完备的,其中必然存在着既不能被肯定也不能被否定的命题。例如,欧氏几何中的“平行线公理”,对它的否定产生了几种非欧几何;罗素悖论也表明集合论公理体系不完备。

1-6 书目悖论

一个图书馆编纂了一本书名词典,它列出这个图书馆里所有不列出自己书名的书。那么它列不列出自己的书名?

这个悖论与理发师悖论基本一致。

1-7 苏格拉底悖论

有“西方孔子”之称的雅典人苏格拉底(Socrates,公元前470-前399)是古希腊的大哲学家,曾经与普洛特哥拉斯、哥吉斯等著名诡辩家相对。他建立“定义”以对付诡辩派混淆的修辞,从而勘落了百家的杂说。但是他的道德观念不为希腊人所容,竟在七十岁的时候被当作诡辩杂说的代表。在普洛特哥拉斯被驱逐、书被焚十二年以后,苏格拉底也被处以死刑,但是他的学说得到了柏拉图和亚里斯多德的继承。 www.ddhw.com

苏格拉底有一句名言:“我只知道一件事,那就是什么都不知道。”

这是一个悖论,我们无法从这句话中推论出苏格拉底是否对这件事本身也不知道。古代中国也有一个类似的例子:

1-7 “言尽悖”

这是《庄子·齐物论》里庄子说的。后期墨家反驳道:如果“言尽悖”,庄子的这个言难道就不悖吗?我们常说:

1-7 “世界上没有绝对的真理”

我们不知道这句话本身是不是“绝对的真理”。

1-8 “荒谬的真实”

有字典给悖论下定义,说它是“荒谬的真实”,而这种矛盾修饰本身也是一种“压缩的悖论”。悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”,意思是“多想一想”。

这些例子都说明,在逻辑上它们都无法摆脱概念自指所带来的恶性循环。有没有进一步的解决办法?在下面一节的最后一部份还将继续探讨。

(二)引进无限带来的悖论

《墨子·经说下》中有一句话:“南方有穷,则可尽;无穷,则不可尽。”如果在有限中引进无限,就可能引起悖论。

2-1 阿基里斯悖论 www.ddhw.com

稍晚于毕达哥拉斯的古希腊数学家芝诺(Zeno of Elea),曾经提出过一些著名的悖论,对以后数学、物理概念产生了重要影响,阿基里斯悖论是其中的一个。

阿基里斯(Achilles)是希腊神话中善跑的英雄。芝诺讲:阿基里斯在赛跑中不可能追上起步稍微领先于他的乌龟,因为当他要到达乌龟出发的那一点,乌龟又向前爬动了。阿基里斯和乌龟的距离可以无限地缩小,但永远追不上乌龟。

方励之先生曾经用物理语言描述过这个问题:在阿基里斯悖论中使用了两种不同的时间度量。一般度量方法是:假设阿基里斯与乌龟在开始时的距离为S,速度分别为V1和V2。当时间T=S/(V1-V2)时,阿基里斯就赶上了乌龟。

但是芝诺的测量方法不同:阿基里斯将逐次到达乌龟在前一次的出发点,这个时间为T'。对于任何T',可能无限缩短,但阿基里斯永远在乌龟的后面。关键是这个T'无法度量T=S/(V1-V2)以后的时间。

2-2 二分法悖论 www.ddhw.com

这也是芝诺提出的一个悖论:当一个物体行进一段距离到达D,它必须首先到达距离D的二分之一,然后是四分之一、八分之一、十六分之一、以至可以无穷地划分下去。因此,这个物体永远也到达不了D。

这些结论在实践中不存在,但是在逻辑上无可挑剔。

芝诺甚至认为:“不可能有从一地到另一地的运动,因为如果有这样的运动,就会有‘完善的无限’,而这是不可能的。”如果阿基里斯事实上在T时追上了乌龟,那么,“这是一种不合逻辑的现象,因而决不是真理,而仅仅是一种欺骗”。这就是说感官是不可靠的,没有逻辑可靠。

他认为:“穷尽无限是绝对不可能的”。根据这个运动理论,芝诺还提出了一个类似的运动佯谬:

2-3 “飞矢不动”

在芝诺看来,由于飞箭在其飞行的每个瞬间都有一个瞬时的位置,它在这个位置上和不动没有什么区别。那么,无限个静止位置的总和就等于运动了吗?或者无限重复的静止就是运动?中国古代也有类似的说法,如:

2-4 “飞鸟之景,未尝动也”

这是中国名家惠施的命题,与“飞矢不动”同工异曲。这就是不可抗拒的推理和不可回避的实事相冲突。 www.ddhw.com

德国哲学家尼采在《希腊悲剧时代的哲学》里有一章《可疑的悖论》,称芝诺的悖论为“否定感官的悖论”。尽管阿基里斯在赛跑中追上起步领先的乌龟完全合乎事实,但为什么“不合逻辑”?因为芝诺运用了“无限”这个概念,这是一种逻辑上的假设,而现实世界里是不可能有无限者存在的,这就出现了假设与现实的矛盾。

尼采说道:在这两个悖论里,“无限”被利用来作为化解现实的硝酸。如果无限是决不可能成为完善的,静止决不可能变为运动,那么,真相是箭完全没有飞动,它完全没有移位,没有脱离静止状态,时间并没有流逝。

换句话讲,在这个所谓的、终究只是冒牌的现实中,既没有时间、空间,也没有运动。最后,连箭本身也是一个虚象,因为它来自多样性,来自由感官唤起的非一的幻象。下面是尼采的分析:

假定箭拥有一种存在,那么,它就是不动的、非时间的、非造而有的、固定的、永恒的。这是一个荒谬的观念!

假定运动是真正的实在,那么,就不存在静止。因而,箭没有位置、没有空间。又是一个荒谬的观点!

假定时间是实在的,那么,它就不可能被无限地分割。箭飞行所需要的时间必定由一个有限数目的瞬间组成,其中每个瞬间都必定是一个原子。仍然是一个荒谬的观念! www.ddhw.com

尼采得出这样的结论:我们的一切观念,只要其经验所与的、汲自这个直观世界的内容被当作“永恒真理”,就会陷入矛盾。如果有绝对运动,就不会有空间;如果有绝对空间,就不会有运动;如果有绝对存在,就不会有多样性;如果有绝对的多样性,就不会有统一性。

事实上,这两个悖论中提到的这个“动与不动”的对立统一,今天都已经得到了完美的解决,这就是极限理论的诞生。牛顿在运动学研究时,初创微积分,但由于没有巩固的理论基础,出现了历史上的“第二次数学危机”。十九世纪初,法国科学家以柯西为首建立了极限理论,后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化,使极限理论成为微积分的坚定基础,运动问题也得到了合理的解释。

可以想见,在微积分和极限理论发明或被接受以前,人们很难解释这一运动佯谬。感官不同于思维,当希腊人用概念来判决现实的时候,如果逻辑与现实发生矛盾,芝诺指责感官为“欺骗”。当思维找不到合理解释的时候,直观的形式、象征或比喻都无济于事。尼采的分析虽然详细、精辟,但他无法把它们综合起来。

2-5 “一尺之捶,日取其半,万世不竭” www.ddhw.com

这是《庄子·天下》中惠施的一句名言。二千多年前中国古人同样运用了无限的概念。

战国名家宋国人惠施(约公元前370-前310)曾任梁国的宰相,论辩奇才,是庄子的朋友,和公孙龙并列为名家的代表人物。他的著作多已亡佚,只能从其他诸家的论述中看到他的言行片段。

惠施的学说强调万物的共相,因而事物之间的差异只是一种相对的概念,现存与惠施有关的奇怪命题,例如,“山与泽平”、“卵有毛”、“鸡三足”、“犬可以为牛”、“火不热”、“矩不方”、“白狗黑”、“孤驹未尝有母”等,都可以说是悖论,但是大部份没有留下具体的争辩过程。惠施的悖论在西方也很有影响。

毛泽东从辩证法的角度基本接受惠施无限可分的观点。一九六四年八月十八日,他同哲学工作者谈话时说:“列宁讲过,凡事可分。举原子为例,不但原子可分,电子也可分。”又说:“电子本身到现在还没有分裂,总有一天能分裂的。‘一尺之捶,日取其半,万世不竭’,这是个真理。不信,就试试看。如果有竭就没有科学了。” www.ddhw.com

有人注意到,毛泽东十分偏爱这句话,如五十年代中期对家钱三强,一九六四年八月同周培源、于光远,一九七三年、一九七四年接见杨振宁、李政道,等等,都提到这句话。

2-6 “1厘米线段内的点与太平洋面上的点一样多”

多少哲学家、数学家都唯恐陷入悖论而退避三舍。二十三岁获博士学位的德国数学家康托尔(1845-1918)六年以后向无穷宣战。他成功地证明了:一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应,也能和空间中的点一一对应。由于无限,1厘米长的线段内的点,与太平洋面上的点,以及整个地球内部的点都“一样多”。

然而,康托尔的“无穷集合”与传统的数学观念发生冲突,遭到谩骂。直到一八九七年第一次国际数学家会议,他的成果才得到承认,几乎全部数学都以集合论为基础。罗素称赞他的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。”

同时,集合论中也出现了一些自相矛盾的现象,尤其是罗素的理发师悖论,以极为简明的形式震撼了数学的基础,这就是“第三次数学危机”。此后,数学家们进行了不懈地探讨。 www.ddhw.com

例如,一九九六年英国剑桥大学出版社出版了亨迪卡的《数学原理的重新考察》,这本书以罗素的《数学原理》(1903)为蓝本的,试图完善逻辑和数学基础。它主要阐述了亨迪卡和桑朵新创的IF(Independence-Friendly First-Order Logic)逻辑及其可能产生的影响。它挑战了许多公认的观念,如公理集合论作为数学理论的适当框架,对说谎者悖论也作了进一步的探讨。它是否将引
起一场逻辑和数学基础的革命?我们还将拭目以待。



【经典悖论漫游(中)】

这是第二部份:由一因多果片面推理引致的悖论和由名实相悖引起的悖
论。

(三)由一因多果片面推理引致的悖论

这种形式的悖论类似于诡辩。诡辩在现实中是令人厌恶的,但是在逻辑学的探讨中有相当的位置。孔多塞说:“希腊人滥用日常语言的各种弊端,玩弄字词的意义、以便在可悲的模棱两可之中困搅人类的精神。可是,这种诡辩却也赋予了人类的精神以一种精致性,同时它又耗尽了他们的力量来反对虚幻的难题。” www.ddhw.com

古希腊哲学流派中曾经有一个诡辩学派,又叫智者派。他们对自然哲学持怀疑态度,认为世界上没有绝对不变的真理。前面提到的普洛道格拉斯(Protagras,约公元前485-前410)是其著名的代表人物,他认为:“ 人是衡量万物的尺度。”雅典政府因其主张无神论,予以驱逐并焚烧了他的书籍。

从苏格拉底到亚里斯多德都反对诡辩学说,黑格尔说,苏格拉底常运用他的辩证法去攻击诡辩学派,尤其是普洛道格拉斯。尽管这些智者的理论多已失传,我们仍然可以从亚里斯多德的《形而上学》(吴寿彭译)中了解一些当时的论辩。

根据亚里斯多德的记载,柏拉图(Plato,公元前427-前347) 曾说:诡辩是专讨论“无事物”的,因为诡辩派的论题老是纠缠于事物的属性。例如,“文明的”与“读书的”为同抑异,“文明的哥里斯可”与“哥里斯可” 是否相同?以及每一事物并不常是而今是者,是否便当成是,由兹而引致(悖解) 的结论(同上)。

斥形式逻辑而提倡辩证法的黑格尔(1770-1831)说柏拉图发明了辩证法。“柏拉图运用辩证法以指出一切固定的知性规定的有限性。他从一推演出多,但仍然指出多之所以为多,复只能规定为一。”(《小逻辑》) www.ddhw.com

亚里斯多德认为:凡现存的事物其生成与消失必有一个过程,而属性事物则不然。然而,我们还得尽可能地追踪偶然属性之本质与其来由;也许因此可得明白何以不能成立有关属性的学术(《形而上学》卷六章二)。在他看来,诡辩理论就是“有关属性的学术”而不是“属性之本质与其来由”。

诡辩完善的是学术体系,而不是知识。孔多塞在《人类精神进步史表纲要人类精神进步史表纲要》(何兆武、何冰译)的《第四个时代》中说:然而希腊的智者和希腊的学人,“并没有发现真理,反而是在铸造各种体系;他们忽视了对事实的观察,为的是自己好投身于自己的想象之中;他们既然无法把自己的意见置于证明的基础之上,便力图以诡辩来维护它们。”

可见,诡辩学派的致命点就是忽略“本质”而纠缠“属性”,从现存的事物中推论出悖解的结论来,而不详细考察事物的真实,在实践的基础上加以证明。对付诡辩最好的方式是运用辩证法并在实践中加以考证。

3-1 “什么是诡辩?”

有学生问他的希腊老师:“什么是诡辩?”老师反问到:“有甲乙两人,甲很干净,乙很脏。如果请他们洗澡,他们中间谁会洗?” www.ddhw.com

这里有四种可能,一是甲洗,因为他有爱干净的习惯;二是乙洗,因为他需要;三是两人都洗,一个是因为习惯,另一个是因为需要;四是两人都没洗,因为脏人没有洗澡的习惯,干净人不需要洗。这四种可能彼此相悖,无论学生作出怎样的回答,老师都可以予以反驳,因为他不需要有一个客观的标准,这就是诡辩。

3-2 “父在母先亡”

这是一个可以自圆其说的乩语。它也有四种解释:一是“父在,母先亡”;二是“父在母之先亡”;三是如果父母健在,可以解释为将来;四是即使父母都去世了,也可以解释为“父亲在的时候,母亲就去世了。”或者是“父亲在母亲以前就去世了。”真是左右逢源。

从逻辑顺序上看,上面这两个例子正好是反其道而用。无论正命题还是反命题都可以根据所谓的客观理由进行诡辩,形成自圆其说或诘难。所以葛拉西安在《智慧书:永恒的处世经典》中说:“诡辩是一种欺骗,乍一听,它蛮有道理,并因其刺激、新奇而令人心惊,但随后,当其虚饰之伪装被揭穿,就会自取其辱。”

3-3 邓析赎尸诡论 www.ddhw.com

《吕氏春秋》记载了这样一个故事:洧水发了大水,淹死了郑国富户家的一员。尸体被别人打捞起来,富户的家人要求赎回。然而捞到尸体的人要价太高,富户的家人不愿接受,他们找邓析出主意。邓析说:“不用着急,除你之外,他还会卖给谁?”捞到尸体的人等得急了,也去找邓析要主意。邓析却回答:“不要着急,他不从你这里买,还能从谁那里买?”

邓析生在春秋末年,与老子和孔子基本同时,是战国名家的鼻祖,著名的讼师,他的著作已经失传。

同一个事实,邓析却推出了两个相反的结论,每一个听起来都合乎逻辑,但合在一起就荒谬了。邓析是不是希望他们相持一段时间后,双方都可以找到一个可以接受的价格平衡点?我们只能猜测。

后来,邓析被杀,就是因为子产认为他“以非为是,以是为非,是非无度,而可与不可日变”。可见,邓析是一个没有原则的人。身为讼师,邓析善于辞辩,而不跳出诡论寻找客观的解决办法。严谨的逻辑推理固然具有说服性,但最终还是要回到现实中来。

3-4 公孙龙论秦赵之约 www.ddhw.com

《吕氏春秋》介绍过公孙龙的一个诡论:秦国与赵国订立条约:今后,秦国想做的,赵国帮助;赵国想做的,秦国帮助。不久,秦国兴师攻打魏国,赵国打算援救。秦王不高兴,差人对赵王说:秦国想做的,赵国帮助;赵国想做的,秦国帮助。现在秦国要打魏国,而赵国援救他们,这是违约。赵王把这个消息转告给平原君,平原君向公孙龙请教。公孙龙回答:“赵王也可以派人对秦王说:赵国打算援救魏国,现在秦国却不帮助赵国,这也不合乎条约。”

不管这个寓言的真实性如何,他的推理无懈可击。公孙龙对于秦赵之约的回应,与邓析赎尸诡论一脉相承。但公孙龙是站在弱小的赵魏这一边反对强秦的。

3-5 “彼亦一是非,此亦一是非。”

这是《庄子·齐物论》中的一句话,以强调事物的相对性而著称,比如,人睡在潮湿的地方会腰疼,但泥鳅会腰疼吗?人爬到高树上会胆怯,猿猴会腰疼吗?于是,他的结论是:“彼亦一是非,此亦一是非。”各有各的相对标准。

《团结报》曾经刊登过一篇一勺的《名师出高徒》。说康白情1919年前在北京大学选修马叙伦先生的“老庄哲学”,没有一次不迟到。有一次,马叙伦责问康白情为什么姗姗来迟。康白情回答:“住得太远。”马先生不以为然,反问道:从你的住处走到这里只要三、五分钟,怎么叫太远!康白情也不示弱,说:先生讲庄子,庄子说:“彼亦一是屋非,此亦一是非”。先生不以为远,而我以为远。马叙伦一时无话可说。

3-6 “我没有受贿” www.ddhw.com

一个商人被控受贿。他宣称:“我没有受贿。”

显然,这个商人既是观察者也是被观察者。我们不知道他是以观察者的身份进行辩护,还是以被观察者的身份进行诡辩。这两种推论都合乎逻辑,如果没有别的证据,就不能判决(引自“Web Dictionary of Cybernetics and Systems”)。

3-7 囚犯诡论

甲乙两人偷东西,人赃俱物。他们被分开审问,可能的惩罚如下:

乙否认
乙承认
甲否认:甲、乙各一年监禁
乙释放、甲五年监禁
甲承认:甲释放、乙五年监禁
甲、乙各三年监禁

甲乙二囚犯都会想到对自已最有利的去做:以甲而言,甲若承认,最多三年监禁,如果乙也承认;如果乙否认,甲马上获得自由。这个结果并不坏。这是博弈,乙也会同样这么想。如果甲改变主意,将冒监禁五年,而乙却获得自由;反之也一样。如果双方都改变主意,各监禁一年,也可以达到“共利”。 www.ddhw.com

但是,这一决策的过程可能是无限的理性推理:假如我选择“共利”策略,我必定相信对方也将选择“共利”策略;假如我选择“私利”策略,对方也会选择“私利”策略予以防范。这个“推己及人,推人及己”的过程可以无限地推下去,他的极限状态在博弈论里叫做“共享知识(Common Knowledge)”,但是没有人可以达到这个状态,囚犯也摆脱不了这个悖论。

(四)由名实相悖引起的悖论

古代中国有不少经典的悖论都来自名家。名家是战国时期的一个学派,他们的学说在于循名责实,但结果也往往被认为是流于诡辩。名家始于邓析,后有惠施、公孙龙等大家。

在古希腊,亚里斯多德认为:辩证家与诡辩派穿着与哲学家相同的服装,但不是一回事。对于诡辩术,智慧只是貌似而已,辩证家则将一切事物囊括于他们的辩证法中,而“实是”也是他们所共有的一个论题;因而辩证法也包含了原属于哲学的这些主题。诡辩术和辩证法谈论与哲学上同类的事物,但哲学毕竟异于辩证法者由于才调不同,哲学毕竟异于诡辩术者则由学术生活的目的不同。哲学在切求真知时,辩证法专务批评;至于诡辩术尽管貌似哲学,终非哲学(《形而上学》卷四章一)。 www.ddhw.com

冯友兰先生在《中国哲学简史》第八章《名家》里有专门的讨论。他认为,中国的“名家”不完全等同于西方的诡辩家、逻辑家或辩证家。如果说古希腊的辩证家和诡辩派专攻属性而不是本质的话,那么名家则在于研究“名”与“实”的关系,而且重“名”甚于重“实”是他们的精神实质。这里的“名实”就是名目与实际。冯友兰认为中国的名家应该翻译为“School of Name”以示区别,我在《不列颠百科全书》上看到的正是这样翻译的。

名与实关系的争论对中国哲学的影响巨大,如“孔子有正名、老子有无名、墨子有取实予名的争辩”。除名家以为,荀子对古逻辑学的贡献也很大。

公孙龙的辩论执名为实,“专决于名”而不落实到经验的事物,看看他的雄辩,就会发现一些奇怪的问题。《庄子·秋水篇》提到,公孙龙曾经自夸:“困百家之知,穷众口之辩”。

4-1 “白马非马”

战国时赵国人公孙龙曾经著有《公孙龙子》一书,平原君礼遇甚厚。其“白马非马”和“坚白异同之辩”都是他的著名命题。 www.ddhw.com

据说,公孙龙有一次骑马过关,把关的人对他说:“法令规定马不许过。”公孙龙回答说:“我骑的是白马,白马不是马,这可是两回事啊。”公孙龙的“白马”有没有过关,我们不得而知。从常人的观点来看,守关的兵士八成认为公孙龙是在诡辩。这也是一个逻辑上“莫能与辩”,现实中不能成立的例子。

冯友兰认为《公孙龙子》里的《白马论》对“白马非马”进行了三点论证:

一是强调“马”、“白”、“白马”的内涵不同。“马”的内涵是一种动物,“白”的内涵是一种颜色,“白马”的内涵是一种动物加一种颜色。三者内涵各不相同,所以白马非马。

二是强调“马”、“白马”的外延的不同。“马”的外延包括一切马,不管其颜色的区别;“白马”的外延只包括白马,有颜色区别。外延不同,所以白马非马。

三是强调“马”这个共相与“白马”这个共相的不同。马的共相,是一切马的本质属性,它不包涵颜色,仅只是“马作为马”。共性不同,“马作为马”与“白马作为白马”不同。所以白马非马。

前面我们说到,辩证法是在对付诡辩论的过程中发展起来的。黑格尔在《小逻辑》中说:“辩证法切不可与单纯的诡辩相混淆。诡辩的本质在于孤立起来看事物,把本身片面的、抽象的规定,认为是可靠的。”(《逻辑学概念的进一步规定和部门划分》) www.ddhw.com

从辩证法的角度看,“白马非马”割断了个别和一般的关系。白马属于个性,特指白颜色的马;马属于一般,具有各种颜色马的共性。公孙龙区分了它们之间的差别,但是又绝对化了这种差别。白马尽管颜色上不同于其他的马,如公孙龙提到的黄马、黑马,但仍然是马。作为共性的“马”寓于作为个性的“白马”之中。“马”作为一般的范畴,包括各种颜色的马,公孙龙的白马自然也不例外。

4-2 “杀盗非杀人也”

这个命题与“白马非马”何其相似,尽管论证的方法和目的不同。荀子把墨辩“杀盗非杀人也”归入“惑于用名以乱名”的诡辩。荀子认为,在外延方面“人”的范畴包含了“盗”的范畴。所以,说“盗”的时候,就意味着说他同时也是“人”;杀“盗”也是杀人。

4-3 坚白石论

坚白石论指一块“坚白石”,它有坚、白、石三个要素组成。公孙龙主张“坚”为石头的特性,“白”为石头的颜色。眼睛看到的这块石头是白色的,手触摸到的这块石头才知到它是坚硬的;白色由视觉而得,坚硬由触觉而来,坚与白不能同时被认知。因此,公孙龙认为就一块坚白石而言,人不可能同时认识到其中三个组成要素:坚、白、石,而只能是坚石或白石。 www.ddhw.com

这是从感知的角度来证明坚、白彼此分离,是分析方法的早期运用。“离坚白之辩”是古代中国的一个著名命题,习惯上人们并不接受,但是对于名家自身来讲,如果没有精密的思考,也不可能提出这些深刻的问题。

尽管名家在逻辑上的辩论天下无敌手,但是遭到诸家反对。庄子说他们:“饰人之心,易人之意,能胜人之口,不能服人之心,辩者之囿也。”《荀子》也认为:“虽辩,君子不听。”这的确是名家的吊诡。

中国古有名辩逻辑,唐代传入印度因明,近代又引进了西方逻辑,成为世界三大逻辑的汇合点。黑格尔在《小逻辑》里说:“一说到诡辩我们总以为这只是一种歪曲正义和真理,从一种谬妄的观点去表述事物的思想方式。但这并不是诡辩的直接的倾向。诡辩派原来的观点不是别的,只是一种‘合理化论辩’的观点。”这是针对古希腊人说的,对中国的名家来讲,同样适合。

4-4 怎么翻译?

英语里有一个Buchowski悖论:“My younger brother is older than I am.” www.ddhw.com

单纯地看这句话是一个悖论,实际上这个“我”有两个哥哥。小哥哥(younger brother)自然比他的年龄大。但是younger brother在英语里又有“弟弟”的意思,硬译过来,如果是:“我弟弟的年龄比我大。”为常识错误;如果是:“我的小哥哥的年龄比我大。”构不成悖论。

英语的brother与汉语里的“兄弟”并不完全对应。在这个例子里,汉语对“兄弟”作了进一步的划分,减少了歧意。





【经典悖论漫游(下)】
这是第三部分:由前提不自洽导致的悖论和由权变遭遇的悖论。

(五)由前提不自洽导致的悖论

这里我们将看到,前提不自洽,结论就无法自圆其说,甚至荒谬或没有结论。

5-1“罗素是教皇”

从单纯的逻辑上来讲,荒谬的假设可以推论出任何荒谬的结论,哪怕推理过程
无懈可击。有人曾经让罗素证明从“2+2=5”推出“罗素是教皇”。罗素证明
如下: www.ddhw.com

由于2+2=5,等式的两边同时减去2,
得出2=3;两边同时再减去1,
得出1=2;两边移位,
得出2=1。

教皇与罗素是两个人,既然2=1,教皇和罗素就是1个人,所以“罗素就是
教皇”。

这个荒谬的结论,就是由一个荒谬的假设引发出来的。

5-2“亚里斯多德是类概念”

这是严格按照三段论推导出来的结果。请看:

(1)亚里斯多德是哲学家,
(2)哲学家是类概念,
(3)所以,亚里斯多德是类概念。

亚里斯多德(Aristotle,公元前384-前322)是希腊大哲学
家和天文学家,曾就学于柏拉图,继承苏格拉底以来的希腊哲学而自成体系,在西
方的影响最大。他系统总结了三段论法原理,奠定了逻辑思维的基础。 www.ddhw.com

上面这个结论恐怕连亚里斯多德本人也不会认同。因为其中蕴含了一个“语义
悖论”。因为语句(1)中的哲学家和语句(2)中的“哲学家”不在一个层次
上,前者是对象概念,后者是元概念。两个前提内涵不一致,结论就荒谬了。从根
本上来讲这不是一个语言或语法问题,而是一种逻辑错误。自塔尔斯基在30年代
提出“语言层次论”来,就一直受到人们的关注。

5-3自相矛盾

这个例子正相反,是一个因为前提不相容而推不出结论的经典例子。

《韩非子·势难》介绍了这个预言:有一个同时卖矛和盾的人。他先夸他的盾
最坚固,无论什么东西都戳不破;接着又夸他的矛最锐利,无论什么东西都能刺透。
旁人问他:如果用他的矛来刺他的盾会有什么结果,他回答不上来,因为两者相互
抵触。这是一个既不可以同时为真,也不可以同时为假的命题。前提出现矛盾,也
就无法推出结论。

5-4纸牌悖论

纸牌悖论就是纸牌的一面写着:“纸牌反面的句子是对的。”而另一面却写
着:“纸牌反面的句子是错的。”这是由英国数学家Jourdain提出来的。
我们同样推不出结果来。它最简单的形式是:

5-5“悖论元”

下面这句话是对的,
上面这句话是错的。 www.ddhw.com

这也是一个有名的悖论,叫乔丹真值(Jourdain Truth-Va
lue)悖论。以上这三个例子基本属于一个类型。

5-6“先有鸡,还是先有蛋?”

这个互为因果的循环推理本身无法自我解脱,需要实际的考证,如考古学和生
物学的研究成果等,才能打破这一循环。

它里面也隐含着一个不相容的前提假设:“鸡是由蛋孵化出来的,蛋又是由鸡
生出来的。”单独来看都符合日常观察,但合在一起却是一对不自洽的假设。

5-7“如果说上帝是万能的,他能否创造一块他举不起来的大石头?”

这是一个流传很广的悖论。如果说能,上帝遇到一块“他举不起来的大石头”,
说明他不是万能;如果说不能,同样说明他不是万能。这是用结论来责难前提。

这个“全能者悖论”的另一种表达方法是:“全能的创造者可以创造出比他更
了不起的事物吗?”

5-8“你会杀掉我”

这个故事有几个版本。大意是说:一夥强盗抓住了一个商人,强盗头目对商人
说:“你说我会不会杀掉你,如果说对了,我就把你放了;如果说错了,我就杀掉
你。”商人一想,说:“你会杀掉我。”于是强盗把他放了。 www.ddhw.com

推理一下:如果强盗把商人杀了,他的话无疑是对的,应该放人;如果放人,
商人的话就是错的,应该杀掉,又回到前面的推理,这是一个悖论。聪明的商人找
到的答案使强盗的前提互不相容。

5-9“你会吃掉我的孩子”

这个例子与上面的例子逻辑同构。

一条鳄鱼抢走了一个小孩,它对孩子的母亲说:“我会不会吃掉你的小孩?答
对了,孩子还给你;答错了,我就吃了他。”我们已经知道了母亲的答案:“你会
吃掉我的孩子。”

5-10两小儿辩日

这是《列子》里的一则预言:孔子遇到两个小孩在争论,一个说:“日出时,
太阳距离我们近,中午距离我们远。因为日出时太阳大得像车轮,中午小得像盘子。
这不正是近大远小吗?”另一个却说:“日出时,太阳距离我们远,中午距离我们
近。因为日出时我们不觉得热,中午却非常热。这不是近热远凉吗?”孔子不能答。 www.ddhw.com

这是今天的一个科学常识问题,但两千多年前的人并不知道。从逻辑上看,这
里有“近大远小”、“近热远凉”两个测度的标准。在回答问题以前,应该搞清楚
哪个标准更准确,或者都不准确。

5-11爱瓦梯尔应不应该付学费?

传说古希腊人爱瓦梯尔(Eulathlus)向普洛太哥拉斯学习辩术(另
有一说是学习法律)。他们的约定是:爱瓦梯尔先付一半学费,另一半学费等学成
后在第一场辩护胜诉时再付,如果败诉,则学费不必再交。

但是爱瓦梯尔毕业以后,没有担任辩护工作,不打算交另一半学费。

普洛太哥拉斯准备告他,说:“如果我胜诉了,法官会判你付我学费;如果我
败诉,根据约定你还是要付我学费。总之要付。”。爱瓦梯尔则说:“如果我胜
诉,法官也会判我不付学费;如果我败诉,按照约定我也不必付另一半的学费。总
之不付。”(见王九逵《逻辑与数学思维》)

这个问题反过来看,逻辑上也同样成立。如果爱瓦梯尔先说:“如果你告我,
我就可以不付学费了。”普洛太哥拉斯也可以用同样的方式来反驳。如此争论下去
不可能有结果。 www.ddhw.com

这里的问题就是他们双方都默认“约定”和“判决”可以同时而且等效地来解
决他们的纠纷,这是他们共同的前提。从逻辑上化解它们的办法就是选择其中的一
个进行最终裁决。

5-12梵学者的“预言”

和上面的例子完全类似,这是一个梵学者(印度的预言家)的女儿用悖论来为
难她的父亲的故事。

女儿在纸上写了一行字压在水晶球的下面。然后对父亲说:纸上写的可能发生,
也可能不发生。如果你预言会发生就写“是”,反之就写“不”。

梵学者写下他的预言“是”,女儿拿出水晶球下面的纸,念到:“你将写一个
‘不’字。”学者错了。实际上,他写个“不”字,也会错,因为预言已经发生了。

女儿的“不”有两重含义,它一方面与字面上的“是”相反,另一方面与实际
上的“不”相反,双重标准。由于没有事先界定,梵学者也可以反过来和他的女儿
作无限的争论。

(六)由权变遭遇的悖论

6-1阿雷斯(Allais)悖论

下面两个式代表你将获得的收入,X是一个不定的量,你将选择哪一个,S1
还是S2? www.ddhw.com

(1)S1=0·9X+$100,000
(2)S2=0·89X+$250,000

显然,最好的选择取决于X是多少。

当X=$15,000,000,S1=S2=$13,600,000
当X〉$15,000,000,S1〉S2
当X〈$15,000,000,S1〈S2

这个悖论对决策理论有较大影响。

6-2纽卡(Newcombs)悖论

这也是决策理论中的一个。有两个盒子A和B放在桌子上:

A是透明的,可以看见里面有$1,000,
B是不透明的,上面写着或者是$1,000,000,或者是0。

你可以在下面的两种选择中,只能取一个(1)或(2):

(1)只选择B
(2)A和B两个都选

你会作出什么选择? www.ddhw.com

有一个教授曾经作过一个实验:他让1000个学生选,其中999个学生选
择了(1),只有1个学生选择了(2)。而这999个学生一人只获得$1,0
00,而那1个学生却获得了$1,000,000。为什么呢?因为这个教授事
先已经作了预测,并作出这样的安排:

如果选(2)B盒子里就不放任何一分钱,
如果选择(1)B盒子里就放$1,000,000。

而这个教授的预测只有千分之一的失误。如果你已经知道了这个结果,重新再
选,会选哪一项。注意,这一回,教授可能又作出了新的预测。

6-3谷“堆”的定义

如果1粒谷子落地不能形成谷堆,2粒谷子落地不能形成谷堆,3粒谷子落地
也不能形成谷堆,依此类推,无论多少粒谷子落地都不能形成谷堆。

从真实的前提出发,用可以接受的推理,但结论则是明显错误的。它说明定义
“堆”缺少明确的边界。它不同于三段论式的多前提推理,在一个前提的连续积累
中形成悖论。从没有堆到有堆中间没有一个明确的界限,解决它的办法就是引进一
个模糊的“类”。 www.ddhw.com

这是连锁(Sorites)悖论中的一个例子,归功于古希腊人Eubuli
des,后来的怀疑论者不承认它是知识。“soros”在希腊语里就是“堆”
的意思。最初是一个游戏:你可以把1粒谷子说成是堆吗?不能;你可以把2粒谷
子说成是堆吗?不能;你可以把3粒谷子说成是堆吗?不能。但是你迟早会承认一
个谷堆的存在,你从哪里区分他们?

它的逻辑结构:

1粒谷子不是堆,
如果1粒谷子不是堆,那么,2粒谷子也不是堆;
如果2粒谷子不是堆,那么,3粒谷子也不是堆;
---
如果99999粒谷子不是堆,那么,100000粒谷子也不是堆;
------------------------------------
因此,100000粒谷子不是堆。

按照这个结构,无堆与有堆、贫与富、小与大、少与多都曾是古希腊人争论的
话题(见《不列颠百科全书》)。

6-4秃头的定义

这也是连锁悖论中的一例,和上面的游戏完全一样。最早叫Falakros
谜: www.ddhw.com

你可以把只有1根头发的叫秃头吗?能;你可以把只有2根头发的叫秃头吗?
能;你可以把只有3根头发的叫秃头吗?也能。但是你不会把有一万根头发的人
叫秃头。你从哪里区分他们?

6-4“一整袋谷子落地没有响声”

在古希腊,还流传着这样一个故事:如果1粒谷子落地没有响声,2粒谷子、
3粒谷子落地也没有响声,类推下去,1整袋谷子落地也不会有响声。

响声是由振动引起的,1粒谷子落地可能引起的振动太小,人耳听不到,但是
用仪器却可以测得出来。而一袋谷子落地引起的振动大,人耳自然就可以听得到了。

应该注意,古希腊辩论家的用意不在于此,他们并不是真的要探讨事实,而是
试图找到逻辑演绎与事实的差别。如果承认谷子落地从没有响声到有响声是一个系
列,那么其间也会有一个变化的模糊区域。

6-5预料之外的绞刑时间

这个悖论在英语里叫“Paradox of the Unexpected
Hanging”;最早从口头传开是在本世纪四十年代。 www.ddhw.com

一个囚犯在星期六被判刑。法官宣布:“绞刑时间将在下一周七天中的某一天
中午进行,但是具体哪一天行刑将在这一天的上午再通知你。”囚犯分析道:“我
将不可能在下个星期六赴刑,这是最后一天。因为星期五下午我还活着,那么我知
道星期六中午我一定被处死。但是,但是这和法官的判决有矛盾。”根据同样的推
理,他认为下一个星期五、星期四、星期三、星期二、星期一、星期日。因此,法
官的判决将无法执行。

这种连锁悖论式的推理并不难理解,法官的判决可以在下个星期六以外的任何
一天被执行,囚犯的预期落空。还有一个“预料之外的考试时间悖论”和这个悖论
的结构完全一致。

6-6“卵有毛”

惠施曾经与一个辩者辩论过这个题目。辩者说鸡蛋里面有毛,惠施却反对。

辩者说:“如果鸡蛋里没毛,那么孵出来的小鸡怎么身上有毛?”惠施说:“
鸡蛋里只有蛋清和蛋黄,没有毛。你什么时候看见过鸡蛋里面有毛了?小鸡身上的
毛是小鸡身上的毛,不是鸡蛋里的毛。”但是辩者不能接受。 www.ddhw.com

辩论双方都以“眼见为实”做标准,从而忽视了从没有毛到有毛的转化过程。
不知道生物学对此会作出什么解释,从方法上来讲,他们没有界定毛从无到有的界
限,似乎都不接受“小鸡身上的毛也可能是鸡蛋里的毛”的模糊区域。

6-7宝塔从有到无

这是哲学中从量变到质变的一个例子。一个宝塔,如果从下面抽走它的砖,一
块一块地抽,这是量变。当到达一定的度时,宝塔倒塌了,发生了质变,说明宝塔
没有了。我们可以看到一准确的“度”。

但是现在从上面拿走它的砖,一块一块地抽,这也是量变。直到拿完,宝塔不
存在了,发生了质变,但我们就不容易找到从量变到质变中间的一个准确的“度”
了。

6-8孪生子佯谬

这是一个与相对论有关的悖论(Twin Paradox)。

爱因斯坦的成就之一,就是引进了一个定律,用C表示恒定的真空光速,把它
纳入自然常数之列,作为不可达到的最高临界速度。根据光速恒定,引出了相对论
的两个著名的“佯谬”,它们曾经被人嘲讽为相对论的“荒诞无稽”的结论。 www.ddhw.com

“孪生兄弟佯谬”是指以快速运动为参考系的钟,比静止参考系中的钟走得
慢。根据这一结论,我们可以得出这样的一个结果:一个乘飞船按接近光速的速度
在太空旅行的人,当他返回地球的时候,就会比生活在地球上的孪生兄弟年轻。因
为他的生物钟,比留在地球上的人要慢。尽管目前的宇宙飞船还远远达不到接近光
速的速度。

在1905年,爱因斯坦的狭义相对论确立以前,牛顿定律是速度远远小于光
速条件下的定律,机械自然观统驭着人们的空间想象,因此无法解释这一现象。爱
因斯坦关于时间相对论化的概念是崭新的,它取缔了牛顿“绝对时间”的概念,使
“绝对运动”概念也失去了立足之地。

6-9“会变的尺”

这是相对论引出的另一个“佯谬”:一把快速运动着的尺子,它和静止状态相
比,在运动方向上长度缩短。这个问题是从迈刻尔逊实验结果提出来的,后来形成
了洛仑兹的机械收缩假说。爱因斯坦认为,这种收缩可以用两个参考系之间存在着
的相对速度来解释(见聂运伟编著的《相对论的摇篮:爱因斯坦传》)。

6-10夜空为什么是暗的? www.ddhw.com

这是有名的奥伯斯(Olbers,Heinrich Willhelm)
悖论:如果空间无限延展,而且星体均匀分布,我们的任何视线都应该碰到起码一
颗星球。那么,天空不是应该一直都是明亮的吗?这个结论显然与事实不符。

这个问题早在1610年开普勒就注意到,直到1823年德国天文学家奥伯
斯重新提出以后才广泛引起关注。过去有很多的猜测,如宇宙只有有限的星体、星
体的分布不是均匀的、星体越远可视光越少,遥远的光还没有到达地球等等。“大
爆炸”理论出现以后,宇宙的年龄不是无限的,被人为是一个最重要的原因。从“
大爆炸”开始算起,宇宙距今有一百到两百亿年的历史。年轻的宇宙还没有时间将
光充满夜空(《星期日电讯》1997年10月5日)。

后记

本文所记都是流传很广的常见悖论。随着现代数学、逻辑学、物理学和天文学
的快速发展,又有不少新的悖论大量涌现,人们在孜孜不倦地探索,预计他们的成
果将极大地改变我们的思维观念。本文罗列的悖论解释多为一管之见,错误难免,
希望读者批评指正。


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沙发
发表于 2004-12-28 07:46:08 | 只看该作者

Very interesting. Thank you for posting [@};-]


  Very interesting. Thank you for posting




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板凳
发表于 2004-12-29 21:31:09 | 只看该作者

多谢! [@};-] 不知哲学的不可知论算不算悖论


  多谢! 不知哲学的不可知论算不算悖论




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