欧拉级数和的欧拉证明

constant

欧拉级数是 1/1^2+1/2^2+1/3^2+..., 其和为 pi^2/6。下面的证明是我在college时读到的，据说是欧拉的原始证明。

考虑函数 f(x) = sin(pi*x)/(pi*x)。这个函数在0处为1，在其他整数处为0。有两种方法把这个函数展开：

f(x) = 1 - (pi*x)^2/3! + (pi*x)^4/5! ...
f(x) = a*(x+1)(x-1)(x+2)(x-2)... = a*(x^2-1)(x^2-4)...

对一个代数多项式 P(x) = x^n + a1*x^(n-1) + ... + a_(n-1)*x + a_n = (x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n), 有　1/x_1 + 1/x_2 + ... + 1/x_n = -a_(n-1)/a_n。（叫什么定理来着？）把这个结果应用到f(x)上，就有www.ddhw.com

pi^2/3! = 1+1/2^2+1/3^2+.... www.ddhw.com

这个证明对不对？大概不对，至少不严格。考试时这样答肯定不行。结果呢？当然是对的。用错误方法得到错误结果是我们这一等人的拿手好戏，用错误方法得到正确结果就只有大师才做得到了。

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QFT

大师的确厉害。 物理学家 法拉第 早期没受到正规教育，以至于他的数学功底不好。 但他的动手能力很强，想象力也很丰富。他从错综复杂的实验现象中看到了场的存在，从而 麦克斯韦 建立了电磁波理论。场论也是现代物理的前沿。现在理论很多，但没有十分令人信服的，是需要大师的时候了。www.ddhw.com   www.ddhw.com