前面证明的改正

rongya

各位不好意思，我把题目理解错了，其实这题证明的是， 有一组数（ X1，X2,X3.......Xn) ，如何证明, f(Y)=绝对值（Y-X1）+绝对值（Y-X2 ）。。。。+绝对值(Y-Xn)是（minimum value) 最小的值时候， Y是这组数的Median 中位数。

 

提示，    在一条数轴上有三个数              ---Y-----------X1--------------X2---------------------X3----------

如果Y在X1 的左边， 当Y向左边移一个单位，f（Y）=会增加 3个单位（slope is +3)， 如果 Y向右边移一个单位f(Y) 会减3个单位（slope is -3) , 如果Y在X1和X2间， Y向左右移都会增加或减少一个单位 （slope is 1) , 只有Y=X2的时候才是Slope=0. 所以中位数能让f(Y)达到最小值。如何证明？  

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小板凳

通常是这么考虑的,把x1~xn从小到大排序,要使绝对值和最小,则存在xm-1mm+1 使得Σ|xi-xm-1|>=Σ|xi-xm|和Σ|xi-xm+1|>=Σ|xi-xm| Σ|xi-xm|=(xm-x1)+...+(xm-xm)+(xm+1-xm)+...+(xn-xm)=(2m-n)xm-Σxi+Σxi  (前一个求和符号的上下标号从1到m,后一个求和符号的上下标号从m+1到n) 同理 Σ|xi-xm-1|=(xm-1-x1)+...+(xm-1-xm-1)+(xm-xm-1)+...+(xn-xm-1)=(2m-n-2)xm-1-Σxi+Σxi  (前一个求和符号的上下标号从1到m-1,后一个求和符号的上下标号从m到n) Σ|xi-xm-1|-Σ|xi-xm|>=0 即(2m-n-2)(xm-xm-1)<=0,由于(xm-xm-1)>0,那么2m-n-2<=0 最后得m<=n/2+1 相同方法 Σ|xi-xm+1|-Σ|xi-xm|>=0 得2m-n>=0 最后可以得到n/2<=m<=n/2+1 所以xm就是中位数