一道上色的题

有个网名不想用 · 发表于 2006-4-9 03:57:48

有一个正方形被以3X3规格分成9各小方格。还有四个颜色的涂料（可以以 a,b,c,d 表示）。问题是，有多少种方法用这几个颜色给9个小方格上色。限制是两个边相邻的方格不可以是同色。

有个网名不想用 · 发表于 2006-4-11 00:54:20

终于有人出声了

。不过不是，正确答案要大得多。再好好想想吧。

有个网名不想用 · 发表于 2006-4-11 00:59:24

不要小看这道题，此题应该是这个坛里出现过的最难的题了。

勇敢的辛 · 发表于 2006-4-11 18:56:56

一行一行看。

先看中间一行。从5号格开始，有4种颜色可能，4号，6号各有3种，共有4*3*3=36种染法。其中，4，6号同色的概率是1/3，有12种，不同色有24种。

对应中间一行的每一种染法，再看第一行。

先看4，6号格不同色的情况。1，3号格各有3种可能，对应于1，3号格的每种情况，2号格取决于1，3，5号格有同色的情况。1，3号格和5号格同色的概率都是1/3，1号格和3号格同色概率为2/9，1，3，5号格同色概率为1/9。所以，

1，3同色但和5号格不同色概率为2/9-1/9=1/9，此时，2号格有2种染法；

1，5同色但和3号格不同色概率为1/3-1/9=2/9，此时，2号格有2种染法；

3，5同色但和1号格不同色概率为1/3-1/9=2/9，此时，2号格有2种染法；

1，3，5号格全同色概率为1/9，此时，2号格有3种染法；

1，3，5号格全不同色概率为1-1/3-1/3-2/9+2*1/9=1/3，此时，2号格只有1种染法；

在4，6号格不同色的情况下，对应中间一行的每一种染法，在第一行共有3*3*（5/9*2+1/9*3+1/3*1）=16种可能。

再看4，6号格同色的情况。1，3号格和5号格同色的概率都是1/3，1号格和3号格同色概率也为1/3，1，3，5号格同色概率为1/9。所以，

1，3同色但和5号格不同色概率为1/3-1/9=2/9，此时，2号格有2种染法；

1，5同色但和3号格不同色概率为1/3-1/9=2/9，此时，2号格有2种染法；

3，5同色但和1号格不同色概率为1/3-1/9=2/9，此时，2号格有2种染法；

1，3，5号格全同色概率为1/9，此时，2号格有3种染法；

1，3，5号格全不同色概率为1-1/3-1/3-1/3+2*1/9=2/9，此时，2号格只有1种染法；

在4，6号格同色的情况下，对应中间一行的每一种染法，在第一行共有3*3*（6/9*2+1/9*3+2/9*1）=17种可能。

第三行的情况和第一行完全一样，互相独立。

总共有24*16*16+12*17*17=9612种染法

有个网名不想用 · 发表于 2006-4-12 01:05:59

这里有个问题

上文“1号格和3号格同色概率为2/9”

我认为概率为1/4，如下

1 3

==========

a a

a b

a c

a d

b a

b b

b c

b d

c a

c b

c c

c d

d a

d b

d c

d d

1，3号格和5号格同色的概率都应是1/4，原因同上。

还有，1，3，5 同色概率应为1/21。

再接再厉

有个网名不想用 · 发表于 2006-4-12 01:28:33

刚才回复得太急了，没看完题，等我再看一下

有个网名不想用 · 发表于 2006-4-13 01:57:16

你算概率的逻辑非常好，我很佩服。请问你知道这道题的出处吗？或在哪本书里有？这个类型的方块题我以前没作过，我希望知道这道题的标准答案。你的答案是否正确我还说不准，不过你的步骤我没有看出什么错，我的方法比你的要长很多，答案是一万三千多，还没有验算，估计中间部分肯定有些小错，答案还得改。开始也想到了你方法的前几步，但没注意到什么头绪，就没继续。我的答案有机会贴出来。谢谢你把自己的答案拿出来分享。

勇敢的辛 · 发表于 2006-4-13 05:28:26

你太客气了。谢谢你的题目。抱歉我只是最近在这里才看了些智力题目，也是第一次看见类似题目，所以不能给你更多参考。期待你的解答，一定很有启发。

有个网名不想用 · 发表于 2006-4-14 17:16:20

谢谢，那我就不客气了

，以后如果再贴题上来，还请务必多多指教。

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