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整数互素的概率答案

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fzy

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电梯直达

楼主

发表于 2005-10-27 18:39:02 | 只看该作者回帖奖励

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任取两个整数, 它们互素的概率是多少?

更准确一点，从 1,2,...,N 中任意选取 a,b, 当 N 趋于无穷大时，a,b 互素的概率的极限是多少？

设其概率为P。对正整数 k, a,b 的最大公约数是 k 的概率是 (1/k^2)*P。因此有 1 = (1 + 1/2^2 + ... + 1/k^2 + ...) * P = (pi^2/6) * P, 即 P = 6 / pi^2。

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Jenny

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沙发

发表于 2005-10-28 01:38:32 | 只看该作者

xie xie hua![:)]

xie xie hua!

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fzy

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板凳

楼主| 发表于 2005-10-28 05:02:53 | 只看该作者

Least I can do before I retire. Good luck [@};-]

Least I can do before I retire. Good luck

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Jenny

428 主题	1701 帖子	2万积分

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地板

发表于 2005-10-28 05:11:32 | 只看该作者

retire[:O]

retire

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5^#

发表于 2005-10-28 05:22:31 | 只看该作者

回复：整数互素的概率答案

Interesting.

So (1-1/2^2)(1-1/3^2)(1-1/5^2)(1-1/7^2)..... = 6/pi^2

I wonder whether there is a direct proof of this equation.

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乱弹

5 主题	155 帖子	1115 积分

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6^#

发表于 2005-10-28 06:27:43 | 只看该作者

Yes, there is one....

(1+1/2^2+1/3^3+...)((1-1/2^2)(1-1/3^2)...)=1 holds an d the proof is easy.

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