谁的胜算大

野菜花 · 发表于 2005-10-22 01:21:57

甲有n+1个硬币，乙有n个硬币，双方投掷后进行比较，若甲的正面数多，则甲胜，甲的正面数少或相同都是乙胜，问谁的胜算大？

yma16 · 发表于 2005-10-22 01:54:34

乙胜算大

大头羊 · 发表于 2005-10-22 02:25:56

我有个想法，至少自己还没琢磨明白对错。

我假设甲的那n个硬币，跟乙的分布完全一样。这样，决定他俩胜负的就在于那最后的1个。那么，几率应该各是一半。

野菜花 · 发表于 2005-10-22 02:34:52

Very smart!

如果能把甲赢的概率具体算出来就更有说服力了.

大头羊 · 发表于 2005-10-22 04:31:05

是问通项吗？

我是这么想的：

假设甲比乙多m个硬币（m不为0）

而我们同时认为，他们的前n个硬币分布是相同的（1）

如果（1）成立，那么求甲必胜的概率，则等价于：求m个硬币中，至少有一个是正面的几率

m个硬币，一共有2^m种情况，全是背面的几率是1/ 2^m . 则至少有一个是正面的几率是 1－1/ 2^m

这就是甲胜的几率。

此题中，m=1，则甲胜的几率是1/2

野菜花 · 发表于 2005-10-22 18:25:22

我的意思不是当甲比乙多m个硬币，求甲赢的概率关于m的通项公式。是指证明你的

1/2概率的结论。在你的大头里转一转，可能觉得很显然，可是作为一个证明，还不够精确，能使人完全信服。

yma16 · 发表于 2005-10-22 20:00:23

假设甲的那n个硬币，跟乙的分布完全一样, "甲的正面数少或相同都是乙胜", 乙 is likely to win. 甲的那 n+1th 硬币 does not increase his chance. Therefore, 乙 is likely to win. IMO.

野菜花 · 发表于 2005-10-23 19:20:47

甲的正面数少或相同都是乙胜，这句话是对最后的结果说的，不是对前n个硬币。你的话似乎有理，具体算一算就知道了。

野菜花 · 发表于 2005-10-26 02:14:57

大头羊的答案是对的，两人赢的概率一样大。

证明：甲乙各先掷n个，假设他们取得相同的正面数的概率为p，那么甲比乙多的概率和乙比甲多的概率相同，都等於(1-p)/2.
www.ddhw.com

甲获胜有以下两个可能：
1) 甲乙各掷n个，他们取得相同的正面数(概率为p)，然后甲再掷第(n+1)个，取得正面(概率为 1/2)。所以这情况的概率是
(1/2)*p
2) 甲乙各掷n个，甲取得的正面比乙多。这情况的概率是
(1-p)/2。(见上)

所以甲获胜的概率为
(1/2)*p+(1-p)/2=1/2 www.ddhw.com

大头羊可能会说这不是和我的思路一样吗，是的，但因为题目本来就可能是一次之差，所以每一点都必须仔细交代，否则别人就会有疑问。

大头羊 · 发表于 2005-10-27 03:23:18

强！前边那个P我没有设，所以就困惑了。看来设一个，能推倒出很多跟P相关的式子，很有用。

vicky3712 · 发表于 2005-10-29 11:32:07

假设每次投硬币得正面和反面的概率是一样的, 也就是说是1/2. 那末

1. 如果乙的正面数是M, M 属于[0, N], 那末甲必须至少得到M+1才能赢.

2. 甲的正面数的概率是

1) M = 0; M + 1 = 1; 也就是甲至少有一个正面的概率是 PROB = 1 - (1/2)^(N+1);

2) M = 1; M + 1 = 2; PROB = 1 - [(1/2)^(N+1) + (N+1)(1/2)^(N+1)];

3) M = K -1; M + 1 = K;

PROB = 1 - [(1/2)^(N+1) + (N+1)(1/2)^(N+1) + ... + (N+1)!/((K-1)! (N+2-K)!(1/2)^(N+2-K)]

= 1 - (1/2)^(N+1) [1 + (N+1) + (N+1)N/2 + ... +(N+1)!/((K-1)!(N+2-K)!)]

所以甲胜的概率是

PROB = 1 - (1/2)^(N+1)[1 + (N+1)+ (N+1)N/2 + ... +(N+1)!/(Ｍ!(N+１-Ｍ)!)]　

　当Ｍ＜Ｎ／２　时，甲胜的概率　＞　５０％

　当Ｍ＞Ｎ／２　时，甲胜的概率　＜　５０％

　当Ｍ＝Ｎ／２　时，甲胜的概率　＝　５０％

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