有趣而费解的题: 到底该换还是不该换?

husonghu · 发表于 2010-9-7 22:42:59

(ZT的题)

箱子里有两个信封：“一个信封里有1元钱，另一个有10元”有1/2的概率；“一个信封里有10元钱，另一个有100元”有1/4的概率；“一个信封里有100元钱，另一个有1000元”有1/8的概率……也就是说，有1/2^n的概率发生这样的事情，一个信封里有10^（n-1）元钱，另一个信封里有10^n元钱。现在你拿到一个信封，看到了里面有x元钱。给你一次机会换成另外那个信封，问你换不换。
举个例子，假如你拿到了100元钱的信封，那么换一个信封得到1000元的概率是得到10元的概率的一半(1/3的概率得1000元，2/3的概率得10元)。也就是说，如果你拿到了x元钱，换一个信封的话有1/3的概率多得9x元，有2/3的概率失去0.9x元。它的期望值是增加2.4x元，这告诉了我们换一个信封显然更好。
现在的问题是，既然总是换个信封好些，那么为什么我们不一开始就选择另外那个信封呢？

sean9991 · 发表于 2010-9-21 07:25:41

First of all, people based his decision on some (his/her own) utility function. The function is set before we proceed to select envelop. I hope you agree on this. The evil of this paradox is "switching is always good no matter what the amount is in the envelop you picked". Here I'll try to break this. My point is, with a "normal" utility function, i.e., utility function that represents a normal person, then the evil can be eliminated.

Now we assume a normal person (risk adverse) with a concave utility function. Based on this assumption, you cannot come to the conclusion that switching is always good. To the extreme, if $X can get you the whole world, is $(X+1) still better then $X? As in the example I gave earlier, if you, with $9000 debt, see $10,000 in the envelop, then switching will give you lower expected return, then you will stay with the envelop. This will break the chain that switching is always good. So your decision will based on the money that is in your hand. You will no longer blindly making decision.

So now, you still want to ask, what if I have identity utility U(x)=x. I want that X+1 even if X will get me the whole world? I'll say with unresonable assumption, you will get unreasonable conclusion, and that is the paradox.

There are still a lot to be said. One of them is people keep asking for specific utility function. A utility function is like a rule in each person's heart. All we can say is its general property. It's concave. It has a upper-bound. It might even start to go decreasing after certain threshold...

...... · 发表于 2010-9-20 20:28:58

愧不敢当.

...... · 发表于 2010-9-20 20:27:23

不可实现的迷思:

每一个观察值是有限的, 但期望值却是无穷大.

这个命题的确有些不可思议, 直觉上感到这个概率分布有夸大其辞之嫌. 好象在说, 你有理由期望太阳从西边升起似的.

由此引出的"换一个会更好, 何不开始就选择另外那个信封"的问题. 在无法找到原因时, 不免归咎于这个期望值为无穷大的概率分布本来就是"不可实现"的.

现在换一个角度, 就算期望值为无穷大的概率分布真的"不可实现", 何不换成期望值为有限的概率分布? 这一点并不难做到: 将题目稍加改动, 把同一箱子里两个信封的钱数由10:1换成小于2的, 比如1.25:1, 其它条件不变, 即

1元和1.25元有1/2概率

1.25元和1.25^2元有1/4概率,

1.25^2元和1.25^3元有1/8概率,

......

这时候的期望值分别为E(A)=1/2*1+1/4*1.25+1/8*1.25^2...=

E(B)=1.25*E(A)

都是有限值. 都是"可实现的"

这时候如果拿到一个信封有x元的话, 换一个信封, 期望值将变成0.8x*2/3+1.25x*1/3=0.95x

假设信封里的钱代表罚款的话, 仍然会出现

"换一个会更好, 何不开始就选择另外那个信封"的问题.

把问题咎于概率分布"不可实现"就再也占不住脚了.

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-20 12:25:59

Hu大哥：经与学生哥商讨，俺已写好题解(MS Word)。因有数学式子，没法拷到脑坛上。现存成pdf文件，但不知如何上传到脑坛。请告诉俺怎么办。谢谢！
别的朋友若能指点，十分感谢！

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-20 00:20:12

不知Sean兄看出来了没有，即使按俺对您的思路而写的“换了以后就不用再考虑换不换了，这也是因为不是钱已够付房租就是再换还是不够您的”看上去象河蟹了，但其中的推理还存在原来那种“换来换去”时曾有的错误。

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-19 23:50:26

赞一个！不争不相识，坛上仍是高手朋友。
争论中俺也有过激不适之词，收回作废，也望多多包涵。
讨论中，俺也会犯错，还请今后多指教。

...... · 发表于 2010-9-19 19:54:14

经过一天的外出歇息, 头脑开始逐渐恢复清醒.

如果说世界上有鬼迷心窍的话, 上周肯定是发生在我的身上了. 怎么自己象变了个人似的. 现在自己回头都看着都丑陋.

现在我正在同心中的魔鬼斗争, 理智开始逐渐占据上风.

在此先向诸位朋友说声对不起. 对所有批评我全部接受.

特别是对Lily, 学生哥, 请接受我深深的歉意. 对楼上我所有的出言不驯无条件收回, 还望海涵.

除歉意外, 还有感谢, 正是两位耐心教诲, 帮助, 才使我能尽快的从迷失中恢复理智.

虽说自己才疏学浅, 不过厚脸皮地说, 脑筋还不笨. 关于楼主的题目, 我正在从另一角度去尝试放弃原来的坚持, 不过目前仍有不少疑问没有理清. 也许以后有结果可以拿来与大家分享, 如果不嫌弃的话.

HF: · 发表于 2010-9-19 18:11:46

I don't think utility function plays an essential role in the problem. It is clear from the question that the player seeks to maximize expected outcome -- so his utility function is U(x)=x (or any linear function with postive slope).

Whether you introduce such an unitility function or just use the simple expectation-maximization argument, the conclusion is the same: you should switch no matter what the amount of money in your envelope is. But this is not what the question is about. What really drives people nuts is what you can derive from this: since you always switch not matter what you see in your envelope, why do you bother opening your envelope at all? you should simply switch the envelope without looking, and you will always end up better (better expected utility, if you will) -- but on the other hand, this is strange because the two envelopes are 'symmetrical', there is no reason to believe you gain anything by switching.

原贴：

文章来源: sean9991® 于 2010-9-18 16:31:32 (北京时间: 2010-9-19 4:31:32)
标题：回复：回复：Answer

The fundamental of this paradox IS the utility function. And people will make decision based on the expected utility of the outcome. The paradox is generated when the assumption of identity utility function is not normal human behavior. So we feel something is wrong, but cannot explain.

We don't need a specific utility function to solve this paradox. As long as we know the common property of utility function, i.e., it's concave (when the money amount is high enough) for a normal person (aka risk adverse), then it's enough to solve this paradox. Generally, what will happen is, when the amount is small, people will tend to switch, because you don't care. The explanation in math: the utility function is approximately identity utility function U(x) = x at this stage. But when the amount is big, people will stick to what they got. Especially in the scenario I described, the debt will generate a big curve on the utility function. At this stage, the expect utility is not higher if you switch. So any risk adverse person will stop switching when the amount is large enough. But a real gambler (risk seeking) will always switch no matter what. Why? His utility function is convex.

In all, I don't believe this is another explanation without using utility function or some sort. If you got one, I'll be interested to hear about it.

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-19 10:12:41

俺还是看不出来您是如何具体地解决Hu兄问题的

，好像只是泛泛地讲了效用函数在风险决策中的运用。能不能在Hu兄问题中举具体的数据，例如，所选信封打开后见到$100，按您的观点和方法，来决定要不要换？如果要换，再回答“那么为什么我们不一开始就选择另外那个信封呢？”这个问题。
多谢指教！

sean9991 · 发表于 2010-9-19 08:28:42

The answer is already given. And more detail is provided in my reply to your post. When you are not concern about money, then you are risk nutral or risk seeking. You will always switch. I suggest you read a little more on utility function. BTW, it's translated as 效用函数.

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-19 01:33:08

您还是没有给出具体的解法。按眼下俺对您的主意的理解是：举个例子，在本题中，如果俺仅需要马上交房租$500，但打开的信封中只有$1、 $10、或不少于$1000，俺就选“不换”，因为不是钱已够付房租就是再换还是不够；仅当信封中是$100时才说“换”，而且换了以后就不用再考虑换不换了，这也是因为不是钱已够付房租就是再换还是不够。这就避免了“换来换去”。再举个例子，如果俺现在根本不需要钱，那就抽到多少拿多少，一概说“谢谢，不用换啦！”。这样确实很河蟹（用别的人的话）

。不知俺的理解对不对，请指教。
但俺觉得构题的人的原意不是这样的，而且用不用效函数不是本问题的实质。麻烦您等等，俺跟学生哥沟通后，看看谁来贴个完整解答比较方便，也欢迎别的朋友（包括那位别的人）来总结

。俺有点忙，有一篇paper的deadline是下月初。

别的人 · 发表于 2010-9-19 00:37:12

Hu兄问题的具体Answer在哪里？能不能把解决Hu兄问题的utility function给出来？
看完帖子的感觉好像是用utility把Hu兄问题河蟹掉了。也就是说，把问题中已给定的决策准则（比较两个期望值或观察值的大小，取大者）推倒重给，就象楼上所举的特例，取常数函数作为utility function，那就河蟹了，什么矛盾也没有了

。这是Hu兄问题的本意吗？

sean9991 · 发表于 2010-9-19 00:31:32

The fundamental of this paradox IS the utility function. And people will make decision based on the expected utility of the outcome. The paradox is generated when the assumption of identity utility function is not normal human behavior. So we feel something is wrong, but cannot explain.

We don't need a specific utility function to solve this paradox. As long as we know the common property of utility function, i.e., it's concave (when the money amount is high enough) for a normal person (aka risk adverse), then it's enough to solve this paradox. Generally, what will happen is, when the amount is small, people will tend to switch, because you don't care. The explanation in math: the utility function is approximately identity utility function U(x) = x at this stage. But when the amount is big, people will stick to what they got. Especially in the scenario I described, the debt will generate a big curve on the utility function. At this stage, the expect utility is not higher if you switch. So any risk adverse person will stop switching when the amount is large enough. But a real gambler (risk seeking) will always switch no matter what. Why? His utility function is convex.

In all, I don't believe this is another explanation without using utility function or some sort. If you got one, I'll be interested to hear about it.

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-18 23:56:03

在许多涉及相对地过大金额（或财富、产品等）的实际问题中，引进效函数的概念于决策过程中确会使结论更符合人们的感觉，是一种行之有效的“人性化”方法。
本题所示矛盾，其根源并不在于未引进效函数，而是在于推理过程中的概念偷换。俺希望有人能选一个效函数来试试，逐步计算概率和条件概率，再通过效函数来决定换不换，看看能否解决矛盾。当然，拿常数（譬如，0）当作效函数，结论必然是“不用换”，从而没矛盾了（这样，本题也就不是个脑坛题了）。
事实上，在本题给定数据的基础上，不需要引进效函数，仅用已有的概率论方法，经正确推导，就能得到合理的答案，不会产生那种“换来换去”的“悖论”。待俺跟学生哥商量后，贴出整理清楚的答案（答案基本上都在上面的一些帖子中给出了，但因当时需要针对异议答辨，分析、推理比较分散）供讨论。大家再看看，那答案是否有错。

sean9991 · 发表于 2010-9-18 22:07:00

First of all, this question is not about the convergence of the distribution. It's about human behavior. So we'll put that discussion aside.

To understand this paradox, we have to understand utility function. Money has nomination value, but it's not equal to its utility. For example, $200 may be about twice as valuable as $100, but $20,000,000 might not be twice as valuable as $10,000,000. Mathmatically, we say a normal human being has concave utility function, which means the marginal increment of utility is decreasing as the nomination value increses. The paradox uses a hidden assumption, i.e., the utility of money equals to its face value U(x) = x. And it calculates expection based on this identity utility function. Therefore, it's not normal human behavior, and the paradox is created.

Consider this scenario, you picked an envelop and it has $10,000 inside, you expect to get more money if you switch based on the expection. But your decision is based on your utility function at the moment. Let's assume, you have $9,000 debt and it's due today. So identity utility function is not for you, because, the utility of $1000 is way less than $10,000, the utility of $20,000 is not much better than $10,000 in hand. Now the expectation of the utility of the outcome of swiching is less than the utility of $10,000 at hand. So you'll not switch.

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-18 20:58:10

HF哥您好！有一段时间没在坛上见您了，请多指教。
那位朋友理屈词穷，竟拿白马非马的典故来说俺是诡辩，因而无词以对（而退场）。所以俺就回敬他一个成语，让他动动脑子，就光写了个缩写。HF哥您别笑话俺啊。

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-18 20:40:39

谢谢理解！

俺跟学生哥商量商量，尽力而为。

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-18 20:35:34

您不是已接受了学生哥帖子中的“期望值”和“观察值”的论断并予赞扬了吗（见http://www.topchinesenews.com/readpost.aspx?topic_id=9&msg_id=8767&level_string=0z11z02z03z01z01&page=1）？怎么又反悔了？这回是笔误还是真反悔，请予澄清，以免别人误解了您，影响坛上声誉。

HF: · 发表于 2010-9-18 20:31:24

QL 是啥意思？

<冷眼看戏的Lili®>：回复：长学问了

连这种帖子都能贴到脑坛来？可怜的QL！

...... · 发表于 2010-9-18 19:10:43

观察值和期望值的南辕北辙总得有个说法.

别得说多了没用.

别的人 · 发表于 2010-9-18 11:13:27

想错说错了，更正了就行。坛上没人会耻笑，何必扯那白马非马的典故来当遮羞布、来暗讽别人呢！肚子里那点墨水，除了白马是马，还总够写那欲盖弥彰四个字吧。
感谢Hu兄贴出了好题！看了这些跟帖回帖，长了学问、也长了见识。但还真没想到，坛上竟有能跟那金牌一拼的勇士，虽然几年来那勇气中已流露些许牌气。现在看起来，按那水平堪称银牌。
有本事就具体算算那些概率，再作结论。光千遍万遍地说无穷-不可实现-悖论，东拉西扯，别人能信服吗！
真相已大白，希望学生和Lili把问题的解答整理后贴出共享。

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-18 09:22:13

连这种帖子都能贴到脑坛来？可怜的QL！

...... · 发表于 2010-9-18 08:53:51

白马是马.

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-18 03:34:24

俺只懂概率分布是不是well defined，而不懂您的“不可实现”，不知道按您的理解怎么才算“可实现”。举个例子看: 掷个硬币，得正面还是反面，说概率分布是（1/2，1/2），俺认为这是well defined。您能实现吗？您到哪里去找那两面绝对对称的硬币？您如何保证抛起它的时候的用力对两面绝对平等？理论模型跟现实问题的差异总是存在的，只要近似到人们可接受的程度，就有价值。理论模型一定要在理论上well defined。lz本题中随机变量的期望值为正无穷大，理论上是well defined。现实中可以用近似的有限情况来模拟，并用取极限观点来分析。
您要是觉得“圣彼得堡悖论有关话题”对此题“有帮助”，能转贴出来，帮助大家（特别是俺）不更好吗？
至于您的“在这个不可实现的概率分布下, 会得出各种相互矛盾的结论.
就象出现矛盾方程一样, 如
X+1=X+2
甲得出1=2, 乙能得出1=3, 丙能得出1=100, 等等. 推理都对, 越离奇越容易看出方程之矛盾.”，实在是看不出跟本题有什么关系。这方程问题从矛盾出发，即使推理都对，得出各种矛盾是毫不奇怪的事，学过逻辑学的人都知道。但在讨论本题时，题中给出的概率分布是well defined，现有的数学工具完全可以处理，仅仅因为您的推理出错，从而得到矛盾，还把这种矛盾称作为“悖论”！您要是能静下心来，好好想想俺在上面帖出的评论和提出的问题，也许您就不会这么固执了。俺可对您提出的问题都给了回音（如有遗漏的，请提醒，俺尽力而为），可您怎么总回避俺提的问题呢？一而再，再而三地、自说自话，这叫讨论吗？还真有学生哥所指的那种"金牌"风格！
世上为一部分人已接受的东东，不一定都是正确的，因为那都是人创造出来的。咱们也都是人，讨论讨论也许也能创造出点东东来。不久前俺帖出的关于离散型随机变量的定义的讨论（还在此页）就是发现在好多教科书和网站上该定义存在问题。这可算是概率论的基础知识之一了吧。您能回答吗？
矛盾是不是都可叫悖论，也是可商榷的。任何错误都有可能导致某种矛盾，例如，一人计算1+1时得3，可别人得的是2，矛盾啊，这叫悖论吗？
耽误您办正事，不好意思！俺也可算是半老网友了，多谢您继"金牌"、"随便"之后又让脑坛不“冷清”了一番！

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-18 01:55:11

俺再花点时间来评论一下您的五条，请您回答、给出理由表明同意或不同意。仍按您的编号，着灰色部分是您原话，不着色部分是俺说的。
1) 上面说了, 钱数是有限的是已知的事实. 打开不打开信封, 都不改变.
如前所述，把随机抽取的信封内的钱数看成一个随机变量，打开信封看到的钱数是观察值，没打开的信封中的钱数只能以其数学期望（简称期望值）来估计。既然您已接受学生哥上面的有关说法，应当知道期望值和观察值不是一个东东。在推理时应严加区分，不要偷换。www.ddhw.com

2) 此题的期望值为无穷大的概率分布不可实现. (不要和无穷大域混淆)
什么叫“不可实现”？按您的理解，请举几个不是“不可实现”的例子。在概率论中，人们常用的有关词是well defined，且不难举出well defined 具有正无穷大期望值的随机变量的例子，本题所涉的就是其中一例。您所说的“无穷大域”指的是什么，请解释。www.ddhw.com

3) 只打开一个信封, 几乎得不到什么有用的信息. (说几乎是因为有个特例, 就是打开看到了1元.) 根据1) 推理中打不打开都无所谓.
打开一个信封看了，就得到上述随机变量的一个观察值。这就是信息。有没有用，因人而异; 不会用，当然就觉得没用。至于“推理中打不打开”是否“无所谓”，在（1）中已阐明。
4) 希望靠条件概率去解释问题恐怕会落空, 因为客观上没有新的条件出现. 拿起来,放下,换一个等等动作, 其实都没改变原始状态.
只是您一厢情愿地盼“落空”。实际上，有了一个新的观察值，就是有了一个新条件。“其实都没改变原始状态”在这里不能说明问题，因为“要不要换”的决策的依据不是那不经打开就谁也不能确切知道的“原始状态”，而是依赖于对观察值和期望值的分析比较。您的“动作”中怎么不提“打开看”呢？正是这个“动作”给出了上述随机变量的观察值、影响了它的条件期望值，而“要不要换”的决策恰恰是依赖于那条件期望值and/or观察值的。犯错恐怕大多是因为没搞清楚这个道理。
5) 根据给定的(不可实现的)概率分布, 能得到违背常识的结果, 既可以推出B比A好(楼主已推到过), 也可以推出A比B好. 悖论在此!
已经评过了，不再重复。仅再问一下，“悖论” 还“在此” 吗？

...... · 发表于 2010-9-18 00:43:09

明天要出门, 国内多年前的老同学也要来, 怕近期没时间陪诸位.

其实我也很忙, 我想大家也一样.

作为脑坛老朋友(跟HU兄差不多老), 看到脑坛有些冷清, 本想来个抛砖引玉就走, 结果没走成, 大家都看到了.

仔细思考之后, 发现我们之所以谁也说服不了谁, 是因为有点盲人摸象了.

往后退一点的话, 有一条共识足矣. 就是这个概率分布不可实现.

如果还不理解的话, 查一下圣彼得堡悖论有关话题看是否有帮助.

在这个不可实现的概率分布下, 会得出各种相互矛盾的结论.

就象出现矛盾方程一样, 如

X+1=X+2

甲得出1=2, 乙能得出1=3, 丙能得出1=100, 等等. 推理都对, 越离奇越容易看出方程之矛盾.

"换来换去"其实是矛盾结论之一. 妙手得到"神秘信封"也是矛盾结论之一.

另外归属悖论问题也不必质疑了, 前面高人已将它对号入坐了.

如果同意的话, 我们就到此为止吧, 确实有些累了. 你们呢?

别的人 · 发表于 2010-9-18 00:21:05

哈! 总算放弃了"不可实现"造成了"悖论"的武断。谢天谢地！

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-17 22:52:26

构lz本题者，不是无意中犯错，就是故意设局、供大家思考明辨。所以，俺在lz刚贴出本题时就叫好。

某个有限值随机变量的期望值是正无穷大，这在概率论中并不鲜见（在微积分中，某个非负值函数在某个区间上的定积分为正无穷大更是常见。而有限值随机变量的期望值就是随机变量在概率空间上按概率测度的抽象积分），其本身不是什么“悖论”。由于其期望值总“大”于（按俺已经解释过的全序）观察值，这就为使用者犯错提供了“土壤”。“引出荒唐甚至可笑的结果.”是犯错者的错误造成的，怎么能怪罪于那个随机变量呢！（说个笑话吧。有人在某地种植鸦片被查获，此人申冤说：这不是我的罪过，是那地的错！）您的‘"换来换去"只不过是把这个荒唐进一步放大到可笑的地步’倒是说得很对，这“放大”正是您做的啊！至于“以使没有意识到第一个荒唐的人看得到.”中所说的“第一个荒唐的人”，不是构题者（俺相信不是他）就是第一个在这里解题时犯错的人。但这句话还是让人难以看懂。

您的“派两人去, 甲乙两人各拿一信封, 经过严格的概率推算后, 彼此互相交换. 就双赢了? 有这样的好事吗? ”还是语焉不详，能不能改一改作风，说得具体点、详细点？信封里装的什么、概率推算什么、赢的标准是什么，怎么都不说？总这样含含糊糊，就会让人怀疑您是不是故意如此，让人难以回帖，以显得自己学问高深莫测？

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-17 21:49:45

您这帖的内容与其标题是什么关系？“那就不是本题了”中的“那”指的什么？帖中内容并没有显示出您对“扩张[0，正无穷大）到[0，正无穷大]”的做法有什么反对意见。事实上，把正无穷大加入到非负实数集里面去，丝毫未改变原来非负实数集所具有的好性质，丝毫未影响您所说的几个“数”的含义以及它们之间的关系（这就是“扩张”这词的特定含义）。而加进正无穷大，正好“紧(compact)化”了原来非紧的左闭右开区间（请没有“紧性”这一概念的朋友，有兴趣的话，去参阅 General Topology 方面的书。不过，没有这个概念也无妨，只要理解“正无穷大”比任何实数都“大”就可以了，这跟正无穷大的极限含义是相符的。），这在数学上是十分方便的，也对lz本题的解决是有帮助的。既然您已接受了学生哥的“其期望值为正无穷大”的说法(这不已经把正无穷大看成值了吗！)，难道您还反对建立起有限数跟正无穷大之间的可比关系？

顺便提一下，发帖和回帖时请注意不要语焉不详、让人不知所云，以节省您、俺、及广大网友的时间。

...... · 发表于 2010-9-17 21:45:15

悖论在最后的提问之前就存在了. 从一开始的概率分布就埋伏好了. 必然引出荒唐甚至可笑的结果.

"既然总是换个信封好些"已经就是荒唐的结果了.

"换来换去"只不过是把这个荒唐进一步放大到可笑的地步. 以使没有意识到第一个荒唐的人看得到.

来个更直观的. 用不着计算条件概率.

派两人去, 甲乙两人各拿一信封, 经过严格的概率推算后, 彼此互相交换. 就双赢了? 有这样的好事吗?

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-17 20:49:21

欣赏您的“离结论真的就不远了. ” 俺也有这样的感觉。

那好，明确了A和B指的是那两个信封后，请进一步分别说清楚“B比A好”以及随后的“A比B好”的确切含义。既然您已承认学生哥说的“若把随机抽取的信封中的钱数看成一个随机变量，其期望值为正无穷大，但其任何一个观察都具有限值。”并加以赞扬

，那么在解释“B比A好”及“A比B好”时请务必分清“信封中钱数的期望值”和“信封中钱数的观察值”这两个不同的概念。这样，就能看出您这两个A的含义是否相同，“离结论真的就不远了. ”

...... · 发表于 2010-9-17 18:56:40

所有信封里的钱都是有限的数(与有界不同), 是10^N, 题目有交代, N再大也是数, 与打不打开没关系. 无限大不是数, 而是个极限概念.

期望值无限大是有限数经过无限求和引出来的.

所说的数, 都是同一概念, 不包括特殊的"数".

...... · 发表于 2010-9-17 18:42:22

A, B分别代表箱中的两个信封, 可作为标签贴上去.

要深思熟虑, 不要急于下结论. 是想说去尝试把我列出的5条逐步建立起共识, 再做结论. www.ddhw.com

学生哥这句开场白说得精彩:

若把随机抽取的信封中的钱数看成一个随机变量，其期望值为正无穷大，但其任何一个观察都具有限值。

建议大家在这停一停, 把它的内涵都挖掘出来, 离结论真的就不远了.

...... · 发表于 2010-9-17 18:16:26

那就不是本题了

深思熟虑 · 发表于 2010-9-17 14:27:38

最终证明还真是土坯啊！都碎成土渣滓了。谁能接得住？

深思熟虑 · 发表于 2010-9-17 14:22:21

是悖论题吗？

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-17 13:17:18

请查看，在实分析（内地通常叫实变函数论）或测度论中是如何把正无穷大放到非负实数集中，一起作为测度的值域的。俺老师的几本专著中也都有类似的表述。

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-17 13:01:48

俺可没说过"10^N" "是特殊的数"，也没说过"N"等于无穷大啊! 俺只是说：把全序空间左闭右开区间[0，正无穷大）扩展为全序空间闭区间[0，正无穷大]，即把“正无穷大”看作一个特殊的“数”，也是常见且是方便的。其中“数”是有引号的，即，它不是数，只是把它放到非负数一起，仍不失全序空间所要求的按序可比性，即扩张了原来的全序空间。您的话“10^N可不是特殊的数, N是正整数, 无穷大那边是开的.”岂不是无的放矢？是不是又是随便说说的废话？

请解释，您的标题中所说的“可就偷换概念了”是什么意思？拿什么“偷换”了什么“概念”了？能不能说清楚点？

在这脑坛上曾有把别人的话歪曲篡改后再加以抨击的个例，其下场如何，有目共睹。标题党的做法，也被人唾弃。

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-17 12:22:18

大家都“要深思熟虑, 不要急于下结论.”
别的不用多说了，许多道理都在学生哥和俺在这24小时内的新帖中阐明了，lz原题的答案学生哥也给了（对错就请大家评论吧，反正俺投赞成票）。请再仔细看看想想。
俺在这里向您提个问题（其实，它已在俺的帖子中回答了，只是您没有看进脑子里去），也许能有助于解决争论：您在（5）中所说的“B比A好”中的A是什么？而在“A比B好”中的A又是什么？它们是一个东东吗？想清楚了这个，问题就解决了一多半了。

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-17 12:00:06

请看俺下面的帖子，也许其中内容已化解了您的问题。如果还有问题，请再提。
盼“推一推”后，把“推”的步骤、所用的公式和量值、以及所得的结果告知。多谢！

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有趣而费解的题: 到底该换还是不该换?

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愧不敢当.[:>]

突破"不可实现"的迷思

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Answer在哪里？

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Answer

回复：QL 是啥意思？

回复：回复：白马是马

回复："南辕北辙"? 怎么又反悔了？

QL 是啥意思？

有所期待.

回复：白马是马

回复：长学问了

长学问了. 此前我一直以为

回复：如果同意的话, 我们就到此为止吧.

回复：还有不少说法值得商榷.

如果同意的话, 我们就到此为止吧.

回复：完全同意! [>:D<]

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回复：回复：那就不是本题了

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回复：那就不是本题了

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那就不是本题了

回复：回复：回复：我只是抛个砖, 希望看到你的玉. [:-M]

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关于正无穷大

回复：您要用特殊的"数", 可就偷换概念了.----标题党的做法，被人唾弃!!!

回复：还有不少说法值得商榷.

回复：回复：别着急。您要是自己想明白了不更好吗。