老虎与狗的故事解答

constant · 发表于 2005-12-3 18:08:20

有一条河是圆形的。狗和老虎分别在河的两边。老虎因为不能过河而无法抓住狗，但狗也不敢越过河因为老虎的速度足够快。假设开始两者在同一点上（即在圆周的同一点上）。现在狗想离开这个圆（狗能过河）。问老虎的速度要是狗的速度的多少倍才能使狗无论如何逃都逃不了？

原题是圆形水池，老鼠和猫。我们还按老鼠和猫答。设猫的速度是老鼠的k倍，池半径为1。猫在池边一点C，老鼠在池内一点M，池心为O。老鼠想要角COM越大越好（接近180度），猫想要角COM越小越好。在半径为1/k的圆内时，老鼠的角速度比猫快，可以保证角COM = 180。

现在设老鼠在小圆外，极坐标点 (r, θ)上，向 (r+dr, θ+dθ) 移动，猫沿池边跑。老鼠在径向前进了dr，角度上损失了 k*sqr((dr)^2 + (rdθ)^2) - dθ。对它们的比 k*sqr(1 + (rdθ/dr)^2) - dθ/dr 求极小值，得 dθ/dr = 1 / r*sqr((kr)^2 - 1)。再积分得 r = sec θ / k, 即直线 x = 1/k。

这个解的意思是在小圆 r=1/k 外，老鼠应该沿着与小圆相切的直线前进。这时老鼠的距离是 sqr(1 - 1/k^2)，猫的距离是 pi + acos (1/k)。k 的最大值是方程 sqr(k^2 - 1) = pi + acos (1/k) 的解，大约为 4.6033...。

因为猫可以改变方向，老鼠的真正策略还要视猫的行动而定。当猫不动时，老鼠沿径向前进，猫开始移动时，老鼠改成与猫移动方向相反的切线方向。猫如果往回跑，这时角COM大于180度，老鼠还是沿径向前进，等到角COM小于180度时，老鼠改成另一个方向的切线方向。这样老鼠一定可以在猫之前赶到岸上。

脑坛的老鼠好像总是很聪明。上次的会差分方程，这次的会微分方程。

寒潭清 · 发表于 2005-12-4 14:17:31

完全正确

谢谢constant

husonghu · 发表于 2005-12-4 05:25:16

当然，狗或老鼠要逃脱，还要假设它们在岸上的速度比老虎或猫快

husonghu · 发表于 2005-12-4 05:16:39

This is great

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完全正确[:)]谢谢constant [@};-][@};-][>:D<]

当然，狗或老鼠要逃脱，还要假设它们在岸上的速度比老虎或猫快[:D)][:D)]

This is great [@};-][@};-][@};-][@};-]