不听话的孩子

constant · 发表于 2005-11-21 00:05:13

难度：＋＋

有一个不听话的孩子，每天早上妈妈都说：“放学后直接回家，不许故意绕弯。”不听话的孩子把这个理解为：每一步都比前一步离家更近一点。他走的是一条由N个线段组成的折线（Ｎ的值取决于他当天的情绪）。设学校离家距离一公里，他最多能走多远？

constant · 发表于 2005-11-22 17:55:55

补充两点：每段线段长度一样，都是 1/sqrt(N)；不一定是螺线，也可以是锯齿形。

husonghu · 发表于 2005-11-22 09:31:52

每段折线走多长，在哪儿转折。他手中要有一个定位仪(测角仪)，
在转折处，他要保证刚走过的线段与该点到他家的射线成90度角。

这真是顽童调皮的最高境界了。

husonghu · 发表于 2005-11-22 05:11:56

果然是我原先理解错了。对某一天来说，N是个定数，即N段折线后，他必须到家

野菜花 · 发表于 2005-11-22 03:45:12

用归纳法证明

设家为O，学校为A，第一个转折点为B，已知AO=1， OAB 是个以AO为斜边的直角三角形，

角OAB=a, OB=sin a, AB=cos a www.ddhw.com

N=1 显然成立。

设N 成立，N+1折线可看成第一段线AB与N折线的合成，根据归纳假设这N折线的长度=(sqrt N)*sin a，

D=(sqrt N)*sin a + cos a

D'=(sqrtN)*cos a - sin a=0,

tan a = sqrt N,

So , sin a=sqrt N/sqrt (N+1), cos a = 1/sqrt (N+1)

D=(sqrt N)^2/sqrt(N+1)+1/sqrt (N+1)

=(N+1)/sqrt (N+1)

=sqrt (N+1)

野菜花 · 发表于 2005-11-22 00:58:20

用归纳法证明

设家为O，学校为A，第一个转折点为B，已知AO=1， OAB 是个以AO为斜边的直角三角形，

角OAB=a, OB=sin a, AB=cos a

N=1 显然成立。

设N 成立，N+1折线可看成第一段线AB与N折线的合成，根据归纳假设这N折线的长度=(sqrt N)*sin a，

D=(sqrt N)*sin a + cos awww.ddhw.com

D'=(sqrtN)*cos a - sin a=0,

tan a = sqrt N,

So , sin a=sqrt N/sqrt (N+1), cos a = 1/sqrt (N+1)

D=(sqrt N)^2/sqrt(N+1)+1/sqrt (N+1)

=(N+1)/sqrt (N+1)

=sqrt (N+1)

本贴由[野菜花]最后编辑于：2005-11-21 17:2:17

QFT · 发表于 2005-11-21 19:42:18

sqrt(n)

constant · 发表于 2005-11-21 18:16:02

忘了加上一点：求最大距离时N是固定的。

乱弹 · 发表于 2005-11-21 17:56:33

觉得你思路对。

husonghu · 发表于 2005-11-21 08:12:57

要走到何年何月啊？

瞎猜一下，当N趋于无限大时，他能走得最远的“轨迹”是一条以
他家为极点的对数螺线，其与矢径的交角小于但无限趋近于90度，
好象真的走到他老了都走不完哎！

(不过我觉得，我是错会了题意了。不应该是这样的吧？)

yma16 · 发表于 2005-11-21 02:58:22

any distance? -eom

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