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有趣而费解的题: 到底该换还是不该换?

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楼主
发表于 2010-9-7 22:42:59 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式

(ZT的题)
 
箱子里有两个信封:“一个信封里有1元钱,另一个有10元”有1/2的概率;“一个信封里有10元钱,另一个有100元”有1/4的概率;“一个信封里有100元钱,另一个有1000元”有1/8的概率……也就是说,有1/2^n的概率发生这样的事情,一个信封里有10^(n-1)元钱,另一个信封里有10^n元钱。现在你拿到一个信封,看到了里面有x元钱。给你一次机会换成另外那个信封,问你换不换。
举个例子,假如你拿到了100元钱的信封,那么换一个信封得到1000元的概率是得到10元的概率的一半(1/3的概率得1000元,2/3的概率得10元)。也就是说,如果你拿到了x元钱,换一个信封的话有1/3的概率多得9x元,有2/3的概率失去0.9x元。它的期望值是增加2.4x元,这告诉了我们换一个信封显然更好。
现在的问题是,既然总是换个信封好些,那么为什么我们不一开始就选择另外那个信封呢?
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沙发
发表于 2010-9-8 09:21:30 | 只看该作者

回复:有趣而费解的题: 到底该换还是不该换?


好题!


 
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板凳
发表于 2010-9-13 00:24:53 | 只看该作者

回复:有趣而费解的题: 到底该换还是不该换?


这个概率分布是做不到的.
钱数以10^n增长, 但分布概率却以2^n下降, 所以期望值是无穷大.
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地板
发表于 2010-9-13 06:03:42 | 只看该作者

回复:回复:有趣而费解的题: 到底该换还是不该换?


There are some questions on your response:
"这个概率分布是做不到的."----Which is the "概率分布" you mentioned? On what space is the "概率分布" defined? What is the meaning of "做不到的"?
"钱数以10^n增长, 但分布概率却以2^n下降, 所以期望值是无穷大."----What is the randm variable that has your mentioned "期望值"? 
Please explaine these involved concepts.
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5#
发表于 2010-9-14 01:22:04 | 只看该作者

我只是抛个砖, 希望看到你的玉. [:-M]


  我只是抛个砖, 希望看到你的玉.




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6#
发表于 2010-9-14 05:14:45 | 只看该作者

回复:我只是抛个砖, 希望看到你的玉. [:-M]


To let people understand your "砖" and, therefore, show their "玉", could you please explaine those terminologies used in the "砖"? Otherwise, it is difficult to discuss with you.
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7#
发表于 2010-9-14 09:32:00 | 只看该作者

回复:我只是抛个砖, 希望看到你的玉. [:-M]


六点朋友勇于解答难题,精神可嘉!
不过(俺就直说了),俺看六点朋友抛的不象是砖,倒象是土坯,未经烧制,掉地就碎。帖中答非所问,语意不清,经不起推敲。Hu大哥贴的是概率题,大家应该用严谨的概率论语言来讨论。否则,彼此没有共同语言。
建议六点朋友读一点概率论著作。没有概率论的基本知识,怎么去接受别人的玉?
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发表于 2010-9-14 09:43:45 | 只看该作者

回复:有趣而费解的题: 到底该换还是不该换?


“一个信封里有1元钱,另一个有10元”有1/2的概率
“一个信封里有10元钱,另一个有100元”有1/4的概率
“一个信封里有100元钱,另一个有1000元”有1/8的概率
……
我们把一个信封里的钱记作A,另一个信封的钱记作B(B=10A), 那么
A的期望值是: E(A)=1X(1/2)+10X(1/4)+100X(1/8)+...(元)
B的期望值是: E(B)=10X(1/2)+100X(1/4)+1000X(1/8)+...(元)
可以看出E(A)和E(B)都是发散的.
所以庄家要投入无穷多钱才能达到他上面所承诺的概率分布, 这显然是做不到的.


 
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9#
发表于 2010-9-14 09:47:08 | 只看该作者

回复:回复:我只是抛个砖, 希望看到你的玉. [:-M]


怕是连土坯也接不住呀.  zzwave.com
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10#
发表于 2010-9-14 10:08:49 | 只看该作者

回复:回复:我只是抛个砖, 希望看到你的玉. [:-M]


俺就直说了吧, 不知诸位看清楚没, 该题与其说是概率题, 不如说是悖论题.
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发表于 2010-9-14 10:46:29 | 只看该作者

回复:有趣而费解的题: 到底该换还是不该换?


这还差不多像块砖或玉。建议把“发散的”改为“正无穷大”。
从您这一说明,看到了此题与楼上俺贴的那题类似的地方了吧。它们都是想把损失的风险推到无穷远处,但现实中资金都是有限的。
如果把Hu大哥的题稍微改一下:在某一个很大的 n 时打住(此 n 以后,概率都是零),即以概率(1/2)^(n-1)在“一个信封里有10^(n-1)元钱,另一个信封里有10^n 元钱”,那么,该换还是不该换?在这情况下,也就看清了损失的风险在哪里。
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12#
发表于 2010-9-14 19:52:06 | 只看该作者

回复:回复:有趣而费解的题: 到底该换还是不该换?


与你楼上的题大相径庭. 说明你还是没看清问题的实质.
如果题目的概率分布成立, 那么不管拿到多少钱的信封, 都应该换. 那么换了之后呢? 同样道理你还得继续换, 这样一来你会永远处于不断更换的怪圈. 需要解释是为什么会出现这样的怪圈. 所以我说这是悖论题.
土坯, 砖, 还是玉, 关键要看是不是识货. 不是所有人都能一点就明的.
 
 


 
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13#
发表于 2010-9-14 20:16:28 | 只看该作者

回复:回复:回复:有趣而费解的题: 到底该换还是不该换?


把楼主题中的情况看成是Lili改过后的情况中的n趋向无穷时的极限情况,也许就会明白一点。
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发表于 2010-9-15 00:54:15 | 只看该作者

回复:回复:回复:有趣而费解的题: 到底该换还是不该换?


请......兄(看上去阳气十足,颇有奥数金牌风度,想必属蓝军,故称兄)解释"换了之后","同样道理你还得继续换".为什么?"不断更换的怪圈",这就是悖论了?


 
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发表于 2010-9-15 03:29:41 | 只看该作者

就此打住, 埋头答题


把自己认为正确的答案拿来分享吧.  
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发表于 2010-9-15 04:11:07 | 只看该作者

你的问题, 楼上有新贴.


  你的问题, 楼上有新贴.




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发表于 2010-9-15 04:15:49 | 只看该作者

回复:就此打住, 埋头答题


打住什么?打住彼此的讨论,打住别人的提问,还是只打住您的解释?"就此打住",怎么又要求别人"把自己认为正确的答案拿来"?我看最好还是别打住,欢迎继续埋头答.千万别再现奥数金牌的风格.


 
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发表于 2010-9-15 04:32:08 | 只看该作者

当然是打住题目以外的话题.


这个题目我看不出与奥数金牌有什么关系, 可是看你张口闭口总提起他.
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发表于 2010-9-15 06:01:18 | 只看该作者

回复:当然是打住题目以外的话题.


您说别人没看清问题的实质.那么我把Hu兄的原帖中的钱换成数学中的区间,问题的实质不会变吧.请看下面改写了的问题:

箱子里有两个信封: “一个信封里写有区间[0,1],另一个写有区间[0,10]” 有1/2的概率;“一个信封里写有区间[0,10],另一个写有区间[0,100]” 有1/4的概率;“一个信封里写有区间[0,100],另一个写有区间[0,1000]” 有1/8的概率……也就是说,有1/2^n的概率发生这样的事情,一个信封里写有区间[0,10^(n-1)],另一个信封里写有区间[0,10^n]。现在你拿到一个信封,看到了里面写有区间[0,x]。希望拿到的信封里写的区间尽量地大,给你一次机会换成另外那个信封,问你换不换。www.ddhw.com

这样改写后,您所指的概率分布是做得到的还是"做不到的"?您所说的期望值是否还是"发散的"(无穷大)?
您所说的问题的实质究竟在哪里呢?盼您能回答这个问题,而不要"打住".


老脑友都知道金牌的风格,希望这种风格不要于脑坛重现.音音老师为净化脑坛作出了贡献.



 
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发表于 2010-9-15 06:03:38 | 只看该作者

回复:你的问题, 楼上有新贴.


好啊.看看康大帝和音音老师是怎么说的.您在那讨论中持什么观点?


 www.ddhw.com

 

  本贴由[学生]最后编辑于:2010-9-14 22:8:29  

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发表于 2010-9-15 08:43:48 | 只看该作者

请再看一遍原题, 看看楼主问的什么.


箱子里有两个信封:“一个信封里有1元钱,另一个有10元”有1/2的概率;“一个信封里有10元钱,另一个有100元”有1/4的概率;“一个信封里有100元钱,另一个有1000元”有1/8的概率……也就是说,有1/2^n的概率发生这样的事情,一个信封里有10^(n-1)元钱,另一个信封里有10^n元钱。现在你拿到一个信封,看到了里面有x元钱。给你一次机会换成另外那个信封,问你换不换
举个例子,假如你拿到了100元钱的信封,那么换一个信封得到1000元的概率是得到10元的概率的一半(1/3的概率得1000元,2/3的概率得10元)。也就是说,如果你拿到了x元钱,换一个信封的话有1/3的概率多得9x元,有2/3的概率失去0.9x元。它的期望值是增加2.4x元,这告诉了我们换一个信封显然更好
现在的问题是,既然总是换个信封好些,那么为什么我们不一开始就选择另外那个信封呢
 
注意楼主提到了两个问题:www.ddhw.com
第一问确是概率题, 不过是个设问句, 楼主已经给出了明确解答.
第二问才是楼主问的问题. 哪个是另外那个信封呢? 相对于你拿到的这个信封, 没拿到的就是另外那个信封.


 
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22#
发表于 2010-9-15 12:36:27 | 只看该作者

那您是随便说说,都是题外话吧。


那在上面说过的什么“期望值”“发散的”、“做不到的”,您是随便说说,都是题外话吧,是不算数的喽。
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23#
发表于 2010-9-15 17:55:44 | 只看该作者

回复:那您是随便说说,都是题外话吧。


如果您有办法指出哪个是"另外那个信封"的话, 算题外话也无妨.


 
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发表于 2010-9-16 00:53:07 | 只看该作者

回复:有趣而费解的题: 到底该换还是不该换?


“现在的问题是,既然总是换个信封好些,那么为什么我们不一开始就选择另外那个信封呢?” --- 乍一看,是个悖论。
但细一想又不像是。[1]如果打开第一个信封是1元(样本空间的最小值),那一定得换;[2]所谓悖论,是针对命题(陈述句)
而言,而不是针对提问而言。www.ddhw.com

 
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发表于 2010-9-16 01:43:10 | 只看该作者

回复:回复:有趣而费解的题: 到底该换还是不该换?


尽管楼主没有把拿到1元这一特例单独计算(期望值增加从2.4x变成3x), 但它仍没超出对任何x都应该换这一初步结论中.
至于悖论中的问句, 应该是指出冲突所在, 起画龙点睛的作用吧. 如"理发师的头发谁来理呢?"


 
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26#
发表于 2010-9-16 02:15:02 | 只看该作者

回复:有趣而费解的题: 到底该换还是不该换?


这个问题是不严密,也是不成立的。www.ddhw.com

这个题一开始就说了这不是一个均匀分布的概率,但题最后问的是“换一个”这样一个同等概率的行为。此题的不严密处在于在一个箱中的N个信封,你如何放置这些信封才能满足题中的2^N递减的概率?知道了这一条件,这个问题才好回答。而问题的“换一个”明显是在误导。


 
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发表于 2010-9-16 03:30:40 | 只看该作者

回复:回复:有趣而费解的题: 到底该换还是不该换?


你可以理解成庄家准备了足够多的箱子, 每个箱子里都有钱数成十倍关系的两个信封. 而你随机得到一个箱子.
根据给定的概率分布, 随着箱子的增多, 钱的增加要更快. 从而使得每个信封里的钱的期望值成为无穷大.
这要求庄家平均每个箱子都要投入无穷多的钱, 这是做不到的. 即使是均匀分布, 庄家也做不到.
 
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发表于 2010-9-16 04:21:47 | 只看该作者

回复:回复:那您是随便说说,都是题外话吧。


瞧您说的,‘如果您有办法指出哪个是"另外那个信封"的话, 算题外话也无妨. ’这不让人感到有点胡椒味了?楼上学生哥已经提醒了,希望金牌风格(典型的胡椒味)不要再现于脑坛上。看来不是捕风捉影。
您要是直截了当地承认您那“期望值”“发散的”、“做不到的”是随便说说,都是题外话,不算数(当作废话)就是了。也显得光明磊落。何必羞羞答答地提出什么交换条件,还加个“无妨”!您这种做法岂不让人嗤笑!
凡是俺提出的说法,尽管置疑,俺有义务解释;不是俺提出的,俺可以发表意见,也可以置之不理。您的帖子是不是废话,是由您的学识水平、为人处世所决定的,跟俺有没有能力或兴趣去议论旁人的见解没有直接的关系。
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发表于 2010-9-16 05:48:07 | 只看该作者

回复:回复:回复:那您是随便说说,都是题外话吧。


您引用时把我那个表情符号给截掉啦?  zzwave.com 
很抱歉, 那样讲只是为了和上文呼应, 绝无冒犯之意. 意思也很明确,
还用说吗, 当然不是题外话了. 不仅不是题外话, 而且是关键之处.
 
谦虚点, 咱摆渡一下. (谦虚总没坏处, 除非被人当成无知来挖苦)
 
“悖论”也可叫“逆论”,或“反论”,这个词的意义比较丰富,它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论,那些结论会使我们惊异无比。它包括逻辑学、概率论、数论、几何学、统计学和时间等六个方面的数学悖论.
......
 
不敢说人家就一定对, 但比咱说得好. 人家悖论已经把概率论都包括了. 所以“期望值”“发散的”、“做不到的”不讲都不行.
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30#
发表于 2010-9-16 06:24:48 | 只看该作者

回复:回复:回复:回复:那您是随便说说,都是题外话吧。


那好吧,就来看看您的“期望值”、“发散的”、“做不到的”跟“悖论”有没有什么关系。
俺把楼上学生哥的帖子http://www.topchinesenews.com/readpost.aspx?topic_id=9&msg_id=8767&level_string=0z04z01z02z01z01z01z01&page=1中的例子简化一下(以橙色表明来自上帖,以红色表明简化和修改处):www.ddhw.com

箱子里有两个信封: “一个信封里写有正整数1,另一个写有正整数10” 有1/2的概率;“一个信封里写有正整数10,另一个写有正整数100” 有1/4的概率;“一个信封里写有正整数100,另一个写有正整数1000” 有1/8的概率……也就是说,有1/2^n的概率发生这样的事情,一个信封里写有正整数10^(n-1),另一个信封里写有正整数10^n。现在你拿到一个信封,看到了里面写有正整数x。希望拿到的信封里写的尽量地大,给你一次机会换成另外那个信封,问你换不换。

这样改写后,您所指的概率分布是做得到的还是"做不到的"?您所说的期望值是否还是"发散的"(无穷大)?
您所说的问题的实质究竟在哪里呢?盼您能回答这个问题,而不要"打住".

请您明确回答:您的"做不到的"(或变成了“做得到的”)跟您所说的“悖论”有什么联系。人们从而可以判断您的那话是不是“随便说说”的。www.ddhw.com



 
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31#
发表于 2010-9-16 06:38:55 | 只看该作者

回复:有趣而费解的题: 到底该换还是不该换?


建议没有学过条件概率的朋友读一读概率论教材中的相关部分,然后再来讨论会不会有所谓换来换去的"悖论"。


 
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32#
发表于 2010-9-16 06:46:00 | 只看该作者

“三门”问题争得那么热闹,也是因为有人不懂条件概率。


“三门”问题争得那么热闹,也是因为有人不懂条件概率。
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发表于 2010-9-16 06:58:29 | 只看该作者

回复:回复:回复:回复:回复:那您是随便说说,都是题外话吧。


不知你的1/2, 1/4, 1/8...的概率是怎么做到的. 我有个注意,
有没有看到我对楼下不要复杂化的跟贴, 或许能得到点启发? 你可以准备比如:
1024个箱子, (512个1和10元的, 256个10和100元的,  128个100和1000元, ... )
2048个箱子, (1024个1和10元的, 512个10和100元的,  256个100和1000元, ... )www.ddhw.com
4096个箱子, (2048个1和10元的, 1024个10和100元的,  512个100和1000元, ... )
 ... ...
一直下去, 当箱子是无穷多的时候(此时符合1/2,1/4,1/8,...的概率分布), 看看平均每个箱子的钱是有限的吗?
 


 
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发表于 2010-9-16 07:11:11 | 只看该作者

回复:回复:有趣而费解的题: 到底该换还是不该换?


如果信封打开看过了, 换完盈亏自知, 故事就结束了.
现在信封不打开前, 就能算出换了概率上是赚的, 换完之后, 仍不打开信封, 你的条件概率多了什么条件, 说说看. 
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35#
发表于 2010-9-16 07:33:37 | 只看该作者

回复:回复:回复:回复:那您是随便说说,都是题外话吧。


“谦虚总没坏处, 除非被人当成无知来挖苦”,这话似应推敲。
依俺看,“谦虚总没坏处”是对的,“除非被人当成无知来挖苦”是画蛇添足(或是欲盖弥彰)。谦虚者被人挖苦,不见得有“坏处”。有真本事在,怕什么?倒是那挖苦者,往往要自食苦果。无知者冒充谦虚,拿谦虚当遮羞布,最终恐怕也是原形毕露。
当初脑坛上曾冒泡的“xx金牌”和“随便xx”,狂妄之极(那“随便”竟然说脑坛上没人懂概率论,需要他来脑坛开讲座)。结果呢,大家都看到了。
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36#
发表于 2010-9-16 08:05:42 | 只看该作者

回复:回复:回复:回复:回复:回复:那您是随便说说,都是题外话吧。


概率论中有不少理论上的讨论类似于俺例中可数(无穷)空间上的概率分布,例如用poisson分布来描写单位时间内某网站被访问的次数,来描写某种材料单位面积上的疵点个数。它们都不构成什么悖论。至于楼主本题,其实质不是因为有“无穷”而生“悖论”,而是混淆了一定条件下的(无条件)概率和条件概率。所以,俺建议不熟悉条件概率的朋友去读一读概率论中的相关内容。同时也建议您不要去钻牛角尖、抱住“无穷”和“悖论”不放,也不要搞什么弯弯绕,直截了当地考虑俺提的问题。回答不了就别回答,省得别人费时。明白了条件概率这一概念,咱们再来讨论楼主本题。
在可实现的有限空间上构建类似题及其解答,等俺有时间再写出来。要是有朋友能写,更好。
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37#
发表于 2010-9-16 08:06:47 | 只看该作者

说得不错, 共勉之吧.


  说得不错, 共勉之吧.




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38#
发表于 2010-9-16 08:13:15 | 只看该作者

回复:回复:回复:有趣而费解的题: 到底该换还是不该换?


您的“就能算出换了概率上是赚的”中所说的“概率”是怎么得来的?想明白了这个,也许就不会去钻牛角尖,也不会去“换来换去”啦。
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发表于 2010-9-16 08:51:27 | 只看该作者

回复:回复:回复:回复:回复:回复:回复:那您是随便说说,都是题外话吧。


先用个电学上的例子说吧, 一个系统频带可以无限宽, 但能量必须是有限的. 也就是说积分必须是收敛的. 否则就不PHYSICAL.
 
举个简单的例子. 我说在信封里放了钱从0到正无穷均匀分布, 你能相信吗? 你不会, 因为每次抽样都是有限数, 再大都会觉得离0太近了.  很显然绝不会是均匀分布. 为什么再大的数都会觉得太小呢, 因为期望值是无穷大.
 
尽管均匀分布比较直观和夸张, 其实1元概率是1/2,10元概率是1/4,100元概率1/8,本质上不也是一样的吗? 多次抽样你定能发现还是离0太近了. 当N足够大时, 10^N的概率绝不会达到1/2^N, 虽然没有前例那么显然. 但对懂数学的我们也不该上当, 不是吗? 因为期望值是无穷大在那摆着的.
 
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发表于 2010-9-16 08:54:05 | 只看该作者

回复:回复:回复:回复:有趣而费解的题: 到底该换还是不该换?


楼主都给出了, 还用问吗? 说说你怎么想得明白吧.


 
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