世界上“第二难”的简单几何题（图）

xyh · 发表于 2008-8-24 11:16:20

仅能使用初等几何原理得出角X的值。并写出详细步骤。

这道题是上一题的变形，但是要解出来也绝非易事。

基础几何原理

关于解题你所能用的原理。

相交线和交角：两条相交线，对角相等，两个邻角相加为180度。两条平行线与第三条线相交，相对的角相等。

三角形：三角形的内角总和是180度。等腰三角形有两条边相等，且有两个相等角。等边三角形三条边相等，三个角相等。直角三角形有一个九十度的角。两个三角形的形状相似，则它们的对应角相等。www.ddhw.com

边角边：有两边和它的夹角对应相等的两个三角形全等
边边边：三边对应相等的两个三角形全等
角边角：两个角和两角夹的边对应相等的三角形全等
角角：如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似

baggioyfan · 发表于 2008-8-24 18:18:47

∠AEB=180-60-50-30=40°www.ddhw.com

∠BDE=∠AED+10°www.ddhw.com

∠BDE+∠AED=180°-10°-40°-30°

∠AED=50°

baggioyfan · 发表于 2008-8-24 18:18:51

∠AEB=180-60-50-30=40°www.ddhw.com

∠BDE=∠AED+10°www.ddhw.com

∠BDE+∠AED=180°-10°-40°-30°www.ddhw.com

∠AED=50°

xyh · 发表于 2008-8-24 20:48:04

第一步 ∠AEB=180-60-50-30=40°

好理解

第二步 ∠BDE=∠AED+10°

为什么？能否给出解释？

第三步 ∠BDE+∠AED=180°-10°-40°-30°

好像不对吧，应该是

∠BDE+∠AED=180°- 40°-30°= 110°

原贴：

文章来源: baggioyfan 于 2008-8-24 10:18:51 (北京时间: 2008-8-24 22:18:51)
标题：回复：世界上“第二难”的简单几何题（图）

∠AEB=180-60-50-30=40°www.ddhw.com

∠BDE=∠AED+10°www.ddhw.com

∠BDE+∠AED=180°-10°-40°-30°www.ddhw.com

∠AED=50°

QW · 发表于 2008-8-25 23:27:56

ADB = 180 – 130 = 50
AEB = 180 – 140 = 40
AED+40+30 = BDE
BDE = 180 – 20 – 50 – AED
AED = 20

wodetata · 发表于 2008-8-26 00:28:37

AED+40+30 = BDE 能否解释

QW · 发表于 2008-8-26 03:38:59

ADB = 180 – 130 = 50
AEB = 180 – 140 = 40
AED+40+30 + BDE = 180
BDE = 180 – 20 – 50 – AED = 110 - AED
BED = 180 – 30 - BDE
BDE = 150 – BED = 150 – 110 + AED = 40 + AED
110 – AED = 40 + AED
AED = 35

yma16 · 发表于 2008-8-26 04:34:48

BDE = 110 - AED
in line 6 you have
150 – BED = 150 – 110 + AED which implies BED=110-AED

From the picture, you know that BDE and BED are two different angles. They may not be equal. You need to prove in line 6
150 – BED = 150 – 110 + AED

this is easy · 发表于 2008-8-26 05:04:14

let angle DEC = w, EDB = y and EDC = z

then we have

x+y = 110

w+z = 160

y+z = 130

x+w = 140

sovle this sytem of equations, the answers are

w = 95

x = 45

y = 65

z = 65

not sure · 发表于 2008-8-26 06:13:28

This system has infinitely many solutions. You need to have more constrains.

只看该作者 · 发表于 2008-8-26 06:34:14

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lion6664564434131313 · 发表于 2008-8-26 07:11:04

滴滴答答

lion666777888 · 发表于 2008-8-26 07:13:37

实在不想再花2分钟写过程。

只看该作者 · 发表于 2008-8-26 07:17:29

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wodetata · 发表于 2008-8-26 07:33:20

观察图片，会发现当所有已知角的度数确定以后，x的大小一定是确定的。所以给出无数的解或者列出一个无数解的方程式但只求出一解的都是不对的。一定有暗藏的条件我们还没有用到。不要忘了，这是世界上第二难的几何题

只看该作者 · 发表于 2008-8-26 07:43:16

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not sure · 发表于 2008-8-26 07:47:16

I don't know how to draw up here.

step 1. draw a line from E to the side AE intersecting at point F, such that

Step 2. triangle CFE and triangle ADE are congruent by ASA, so CF=AD

Step 3. AD=AB, because

step 4.draw a line from A to the side CB intersecting at point G, such that

and

Step 5. It can becocluded that www.ddhw.com

只看该作者 · 发表于 2008-8-26 07:57:01

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High school student · 发表于 2008-8-26 08:13:03

Use the following formula:

[edit] Law of cosines

The law of cosines (also known as the cosine formula) is an extension of the Pythagorean theorem:www.ddhw.com

also known as:www.ddhw.com

In this formula the angle at C is opposite to the side c. This theorem can be proven by dividing the triangle into two right ones and using the Pythagorean theorem.www.ddhw.com

The law of cosines is mostly used to determine a side of a triangle if two sides and an angle are known, although in some cases there can be two positive solutions as in the SSA ambiguous case. And can also be used to find the cosine of an angle (and consequently the angle itself) if all the sides are known.

www.ddhw.com

[edit] Other useful properties

High school student · 发表于 2008-8-26 08:18:03

Use the following formular ..... then you can find the result

Law of cosines

The law of cosines (also known as the cosine formula) is an extension of the Pythagorean theorem:www.ddhw.com

also known as:www.ddhw.com

not sure · 发表于 2008-8-26 08:28:25

you are right. i mean to line AC . wish i can post the drawing

只看该作者 · 发表于 2008-8-26 08:43:52

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只看该作者 · 发表于 2008-8-26 09:04:05

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wodetata · 发表于 2008-8-26 12:03:26

勾股都不能用，别说这了

NuBHH · 发表于 2008-8-26 16:58:38

x=30

ZZYH · 发表于 2008-8-27 01:30:21

Suppose the length of AB = 1 unit

Because Angle ADB = Angle ABD = 50, so AD= 1 unit

Angle AEB =40

According to Sine law: AE/sin80 = AB/sin40= 1 unit /sin(40), so AE=1unit * sin80/sin40

We now know the length of AD and AE, and Angle DAE=20, according to cosine law:

DE^2=AD^2+AE^2-2*AD*AE*cos(20)

After we get DE, we can compute x based on sine law

AD/sin (x) = DE/sin(20), so sin(x) = sin(20)*AD/DE, then x can be computed.

ZZYH · 发表于 2008-8-27 01:34:01

A typo: 'sine law' should be 'sine rule' and 'cosine law' should be 'cosine rule'

只看该作者 · 发表于 2008-8-27 05:21:01

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No MSG Please · 发表于 2008-8-27 12:09:56

Ditto!

try · 发表于 2008-8-28 01:45:59

if I am not wrong. too many solusions. e.g if α=-10，then β=170，then γ=-40，then x=150。this is impossible.

try · 发表于 2008-8-28 01:48:14

could you give a simple solusion?

Hinter · 发表于 2008-8-28 10:19:30

Hint:

Try to prove line BD = BE first. You may need some assistant lines drawn to provide more trangles. My answer is 25.

Hinter · 发表于 2008-8-28 10:21:47

Sorry, I meant 35.

七月七日 · 发表于 2008-8-28 20:34:09

哈哈终于找到和我的解法和答案一样的了

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请问能否解释第三步

回复：请问能否解释第三步

IN line 4, you have

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X=40，30 秒完成

解肯定只有一组

solved

回复：解题过程。。。。（图）

Use the following formula:

[edit] Law of cosines

[edit] Other useful properties

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回复：回复：solved

勾股都不能用，别说这了

x=30

Simple solution

回复：Simple solution

Ditto!

singular matrix

I guess 30 is correct, but how?

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