湖上巡逻兵解答（图）

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有一个湖，湖里有一个岛。有一个巡逻兵，每天开着巡逻艇在湖上巡逻。他的任务是要看到所有的湖岸（包括岛）和水面。他每天看到所有湖岸后就回家了。他说：“我看到所有的湖岸，自然就看到所有的水面了。”

他说的对吗？

他说的对。这个证明不是很严格，其中用到曲线的一些看起来显然但需要严格证明的拓扑性质。www.ddhw.com

设 P 为水面上巡逻兵没有看到的一点，A 为岸上能够看到P的一点。巡逻兵必在湖中某一点B看到A。连接 PA 与 AB，令 PA 以 P 为心旋转，并保持另一端在 AB 上。旋转过程中该线段在某一点 C 碰到岸。将线段 PC 向两端延长到岸上两点 D，E。巡逻兵从来没有穿越过线段 CD，也就是说在这里他不能看到 E。要看到 E 他必须从岛的另一边绕过去。注意 C，D 两点必须是一在陆地一在岛上，不然就绕不过去了。假设 C 在陆地，D 在岛上。（D 在陆地，C 在岛上也一样。）根据 A 和 E 的位置（在陆地或在岛上）可能有三种情况，分别见下面的三个图。每种情况我们都可以画出另一条过 P 的直线 FGH，使得巡逻兵不能穿过 FG。这样 CD 和 FG之间 的水域巡逻兵从来没有来过，而CH或CF之间的岸他就不可能看见。www.ddhw.com

有意思的是有两个岛时结论就不同了。

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