1)难度:++++ 用有限多个不同大小的正方形能否填满一个大正方形?www.ddhw.com 2)难度:+++ 用有限多个不同大小的立方体能否填满一个大立方体? www.ddhw.com 解答: www.ddhw.com 2维是可能的。最小解由21个正方形组成。见下图:www.ddhw.com www.ddhw.com
三维不可能。首先注意如果一个大正方形由不同大小的小正方形填满,最小的小正方形一定在中间,周围有四个大一点的正方形。因此我们从大正方形的一个面开始,这个面是由不同大小的小正方形填满的。选出最小的小正方形,这个小正方形是一个小立方体(称之为C1)的底面。C1 的上面和C1周围的四个正方形的侧面形成一口井的形状。井底(C1 的上面)又是由不同大小的小正方形填满的。再选出其中最小的小正方形,这个小正方形又是小立方体C2的底面。继续下去,我们得到小立方体的无穷序列 C1,C2,...,这就和有限多个小立方体矛盾。 www.ddhw.com
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