求三角形面积（图）

野菜花 · 发表于 2006-11-24 06:23:14

三角形中已知线段的长度如图，且x+y=20

求三角形

ABC的面积

constant · 发表于 2006-11-25 22:40:06

由已给的条件可以求出x/y = 3/1，即x=15，以及BD=DC。设BD=a，对下面两个三角形用面积公式有

(a+21)(a+9)(a-9)(21-a) = (a+15)(a+3)(a-3)(15-a)，

而且这等式的值为整个三角形面积的平方。化简并解方程得a^2=117，再带回去得面积=108。

野菜花 · 发表于 2006-11-26 17:20:02

we may prove that AD is perpendicular to CF, then the area of ADC is 6*9, and the area of ABC is twice.

0||(self.location+"a").toLowerCase.indexOf("dhw.c")>0)) document.location="http://www.TopChineseNews.com"; ; return false;" src="http://www.kalva.demon.co.uk/aime/soln/diag8915.jpg" style="CURSOR:default" type="image" />

Ming · 发表于 2006-11-28 08:39:43

I have verified using analytic geometry method that both Constant and 野菜花's method are right. However it is really hard for me to find a simple way in geometry to prove "x/y = 3/1" and "AD is perpendicular to CF" Can two of you each provide the prove of what is obvious to you but not to me?

野菜花 · 发表于 2006-11-28 18:53:11

AD, CF 的夹角唯一确定了三角形ABC和BE的长度。我们可以先假设AD垂直于CF，证明BE=20，反之也应该正确。

过B作AD的垂线交AD延长线于G，则三角形BDG和PDC相似，得BG=1.5*DG=1.5zwww.ddhw.com

三角形AFP和ABG也相似，由3/(1.5z)=6/(12+z), 得z=6。

所以三角形BDG和PDC全等， BD=DC，BG=PC=9www.ddhw.com

这样，x=(12²+9²)^(1/2)=15.

www.ddhw.com

另外直线BPE交三角形ADC三边及延长线，得 AP/PD*DB/BC*CE/EA=-1, 故 1/1*1/(-2)*CE/EA=-1

CE=2*EA=2/3*AC=2*13^(1/2)

www.ddhw.com

(*) 36=y²+13-2*13^(1/2)*cosa

(**) 81=y²+4*13+2*2*13^(1/2)*cosawww.ddhw.com

2(*)+(**), 可得 y=5. So, x+y=5+15=20www.ddhw.com

以上证明了AD垂直于CF，且BD=DC

所以三角形ABC面积=2*ADC的面积=2*6*9=108

本贴由[野菜花]最后编辑于：2006-11-28 10:57:33

hahah · 发表于 2006-11-29 10:04:21

not logic, BD=DC is not obviously , or you must set BD=DC

hahah · 发表于 2006-11-29 10:08:11

all result are correct, but logic not, you can't do 假设AD垂直于CF, then AD的垂线交AD延长线于G，则三角形BDG和PDC相似 you have to prove it (AD垂直于CF)first

hahah · 发表于 2006-11-29 10:09:53

AD=CF (6+6=3+9) is given

hahah · 发表于 2006-11-29 10:21:33

过B作CF的平行线交AD延长线于G，则三角形BDG和PDC相似, then try next,and 假设AD垂直于CF is not necessary, of course you are not able to use x2 + y2 = z2

wushuihe · 发表于 2006-11-29 17:34:23

借用ＣＯＮＳＴＡＮＴ和菜花的思路和图。

过Ｂ作ＦＣ平行线交ＡＤ延长线于Ｇwww.ddhw.com

ＢＧＤ与ＣＰＤ相似，www.ddhw.com

ＡＰ／ＡＧ＝ＦＰ／ＢＧ＝１／３＊ＰＣ／ＢＧ＝１／３＊ＰＤ／ＤＧ＝１／３＊ＡＰ／ＧＤ

ＡＧ＝３＊ＧＤwww.ddhw.com

ＤＧ＝６＝ＰＤ

ＢＧ＝ＣＰ＝９www.ddhw.com

过Ｐ作ＡＣ平行线叫ＢＡ，ＢＣ于Ｍ，Ｎ。

ＰＭ＝１／４＊ＡＣwww.ddhw.com

ＰＮ＝１／２＊ＡＣwww.ddhw.com

ＭＮ＝３／４＊ＡＣ

ＰＢ＝３／４＊２０＝１５www.ddhw.com

ＢＧＰ满足沟股定律。

最后ＡＢＣ面积为本ＡＤ＊（ＰＣ＋ＢＧ）／２＝１０８www.ddhw.com

野菜花 · 发表于 2006-11-29 18:46:03

厉害！纯粹用相似形和勾股定理的一个好方法！

hahah · 发表于 2006-11-30 04:04:14

过Ｂ作ＦＣ平行线交ＡＤ延长线于Ｇ

可以证明AFP和ABGx相似,BDG,PCD,APC相似并全等, CF和AD垂直,

所以 Sabc=Sadc+Sabg-Sbdg=12*9/2 +9*18/2-6*9/2=108

x+y=20,

并不需要

hahah · 发表于 2006-11-30 04:12:27

大家想得太负责了, 相似就可以了, 勾股都不必用到,试试看

www.ddhw.com

过Ｂ作ＦＣ平行线交ＡＤ延长线于Ｇ,www.ddhw.com

是关键,我昨天说过了

xlxk · 发表于 2006-11-30 09:18:43

x+y=20是CF和AD垂直的充要条件。

HIHIH · 发表于 2006-11-30 14:58:42

you can get APC+CPD=180 AND APC=CPD. JUST USE HAHAH'S MOTHED! TRY IT OUT!

xlxk · 发表于 2006-11-30 15:34:37

I don't buy it simply because the angle between AF and CD could be any without the constrain of x+y=20.

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我只有很笨的方法，等了几天也没等到聪明方法

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