瓶子里有多少球？

xyh · 发表于 2012-1-25 01:23:38

假定你有无穷多的玻璃球，分别标有1,2,3,4，…… 另有一个瓶子，可以装无穷多的玻璃球。

再假定你可以不花费任何时间往瓶子里放玻璃球或从瓶子里取玻璃球。

在夜里11点59分开始，你往瓶子里放入1,2号球，接着取出2号球（注意根据上面假定，放球取球都不花时间）。30秒后，你又往瓶子里放入3,4号球，接着取出4号球。15秒后，你又往瓶子里放入5,6号球，接着取出6号球。这样每隔比上次短一半的时间间隔，你往瓶子里放入外面球中标号最小的两个球，接着取出双号球（所有取出的球都扔掉不再使用）。

问：
1、一分钟之后，也就是到深夜12点时，瓶子里有多少球？
2、如果你每次取球不是取刚放入的双号球，而是取瓶子里标号最小的球，到深夜12点时，瓶子里有多少球？瓶中球中最小的标号是多少？

冷眼看戏的Lili · 发表于 2012-1-25 04:06:12

1、瓶子里有无穷多个球（所有单号球）。
2、瓶中无球，也就没有“最小的”了。

本贴由[冷眼看戏的Lili]最后编辑于：2012-1-24 20:9:58

不知道啊 · 发表于 2012-1-25 08:38:21

2、瓶中无球，也就没有“最小的”了？

瓶中的球只会随着时间的增加越来越多，且增加的越来越快，为什么到深夜12点时瓶子里所有的球突然都消失了呢？

冷眼看戏的Lili · 发表于 2012-1-25 12:09:12

这是现实生活中不可能通过实验而达到的极限情况，只是在理论上可以论证。试想，你指定某一个球，无论其标号有多大，必在午夜12：00前的某一时刻被取走。那还有什么球能留在瓶中直到午夜12:00？

husonghu · 发表于 2012-1-26 11:00:45

Lili, 我感到这第二问的答案是一个悖论啊:

1. 你说的固然对: "你指定某一个球，无论其标号有多大，必在午夜12：00前的某一时刻被取走" ---- 故在午夜12:00时瓶中无球.

2. 但这个说法也是对的: "你(按规则)取走的标号为N的球, 无论其标号有多大, 都有标号为N+1, ...., N+N的共N个球在瓶里" ----那么此问题的答案就是瓶中有N个球,最小标号为N+1 (这里N为无穷大).

显然1和2互悖.

本贴由[husonghu]最后编辑于：2012-1-26 3:34:0

冷眼看戏的Lili · 发表于 2012-1-26 20:41:29

Hu大哥，以下两点供思考：

(1) “无穷大”不是一个数，而只是用来表示一种极限状态的一个数学符号。尽管在数学中有时可把它当作一个特殊的“数”来对待，但在新新大哥的题中，没有一个球是标上“无穷大”的。您“(这里N为无穷大)”本身就是一种错误的表述。
(2) 您的“你(按规则)取走的标号为N的球, 无论其标号有多大, 都有标号为N+1, ...., N+N的共N个球在瓶里”和“瓶中有N个球,最小标号为N+1” 只是午夜12:00前某一时刻的情况，而不是午夜12:00时的情况。

“悖”在哪里？

husonghu · 发表于 2012-1-26 21:22:55

我相信你是对的. 你的意思是, 从数学上说, "有多少球"这个时间的函数在12:00是非连续的(从无穷大到零). 而我和"不知道啊"就脱离不了"物理的"思维. 怎能使"数学的"和"物理的"得到完美的统一呢?

谢xyh出的好题.

冷眼看戏的Lili · 发表于 2012-1-26 21:42:03

对，瓶中球的个数作为时间的函数，在12:00这一点不是左连续的。

物理学中不也有“临界”的概念吗？

wushuihe · 发表于 2012-1-27 00:25:52

2.
到深夜12点时，瓶子里有很多很多的球。瓶中球中最小的标号是你投放的次数加一，也是最后投进的球的号码的一半加一。

youshuihe · 发表于 2012-1-27 01:39:32

投放的次数是多少？最后投进的球的号码是多少？

冷眼看戏的Lili · 发表于 2012-1-27 01:44:11

您说的是午夜12:00前一点点某一时刻的情况，不是午夜12:00正这个时刻的情况。

wushuihe · 发表于 2012-1-27 02:18:30

正那个时刻，球有无穷多，最小的号码是无穷大。

wushuihe · 发表于 2012-1-27 02:24:01

不知道。反正不是0.

冷眼看戏的Lili · 发表于 2012-1-27 03:52:32

http://www.topchinesenews.com/readpost.aspx?topic_id=9&msg_id=8908&level_string=0z01z01z01z01z01&page=1

fov22 · 发表于 2012-1-27 08:01:42

冷眼看戏的Lili：

令sn表示N次操作后瓶子里球的个数，则s1=1,s2=2,s3=3,sn=n.

可知数列{sn} 发散到无穷大，即lim sn=+infi

但你的说法是limsn=0

请解释www.ddhw.com

...... · 发表于 2012-1-27 08:25:17

t为距离12:00所剩分钟数, 数学模型为,

在t=1/2^(n-1)时, 放入编号为 2n-1, 2n两球, 并拿走编号为n的那个球. 瓶内有从编号为n+1到2n的n个球.

把球的个数n写成t的函数, n=1-log₂(t). 看看t->0时结果如何.

fov22 · 发表于 2012-1-27 08:37:08

正解来也：

为了方便下面采用t为离开11点59分整的秒数，t=60为12点整这个时刻。

本题其实是一个错题，2问其实都无解，至于第一题貌似有解，也是借助了人们对于时间是连续的这个直觉，但是本题其实没定义好，具体如下

令f（t）为瓶子里在t时刻的球的个数

瓶子里的球，在0秒，30秒，45秒，。。。。的时刻，瓶子里的球都是确定的，也就是说f（0）=1，f（30）=2，。。。但是f在60这个点没定义。所以严格的说，问及瓶子在60这个时刻的情况就是一个不合理的问题。本质上与”今天我下午上了网，请问我早上在干什么？” 一样，是无法回答的。

之所以人们会回答，是利用了人对时间的连续性的直观，由于时间关系我就不推到f（t）的具体表达式，但是肯定是和log有关，并且对应的定义在实数上函数一定是连续（具体的说，虽然f（n）=1/n n为整数是离散的，但是f(x)=1/x是连续的）。但是即使有了f（t）的关系，也不能改变此函数在60无定义的事实。

本问题的本质可以做如下类比：g(x)=x, x定义在[0,1), 试求g（1）。显然g在1无定义，但是lim g(x),x->1=1, 正式利用了这个直观，使人错觉的回答了“g(1)=1".

所以，只管上，第一问好像瓶子里只有单号球这个回答是对的，但其实不对。准确的回答只能说是对任何单号球，总存在靠近12点整的某个时刻X，但是x不是12点整，瓶子的球有这个单号球。至于12点整是什么情况，无定义，无法回答。

由此可知，第2问也只能给出”对于任何的号码，总存在靠近12点整的某个时刻，这个号码被取走“。但是不能下出”12点整瓶子里无球”的结论。

出于完整，对于第2问，可知 limf(t) t->60=+infi. 若灵g，h为瓶子里最大的球号，最小的球号，limg(t)=+infi, lim h(t) = +infi.这里就用到高等数学极限的概念，也发挥了数学更加精准的特点，而不是靠直觉泛泛而谈.

冷眼看戏的Lili · 发表于 2012-1-27 08:51:07

俺没说过"limsn=0"呀。

俺再重复强调一下：瓶中球的个数作为时间的函数，在午夜12:00这一点不是左连续的。

当时间自11:59趋向午夜12:00时，瓶中球的个数的极限不等于它在午夜12:00这一点的数值，前者为无穷，而后者为0。

冷眼看戏的Lili · 发表于 2012-1-27 08:57:35

请注意函数可能具有的不连续性。函数自变量趋向某点（值）时，函数值的极限不一定等于函数在该点的值。

fov22 · 发表于 2012-1-27 09:02:53

冷眼看花：

虽然你学过一定的数学，可惜貌似未受过严格的数学专业训练：

球的极限时无穷大，同意！

球个数在12点正的个数是0，反对！

我已经说了，12点正是无定义，你给不出任何对于12点正时刻瓶子里情况的解释

fov22 · 发表于 2012-1-27 09:06:18

冷眼看花：

做个类比的话，就是你任何g（x) =x 当x在[0,1), g(1)=0.

我认为g(x)=x在[0,1), g(1) 无定义。

仔细考察原题的描述，你得不出g(1)=0的结论

冷眼看戏的Lili · 发表于 2012-1-27 10:09:01

按您的术语和符号约定，视瓶中球的个数为时间的函数，它在t=60这点是有定义的，那就是在一分钟内无穷多次（现实生活中当然无人能做到，但在数学理论上是可以、而且是常常这样考虑的）放入取出全部完成之后瓶中球的个数。这在“本质上”与您所说的“今天我下午上了网，请问我早上在干什么？” 一样吗？

您的“类比”中所说的“直观”，其实不是什么“直观”，而是不懂高等数学。

您的“之所以人们会回答，是利用了人对时间的连续性的直观”，有误导之嫌。“时间的连续性”与以时间为自变量的函数是否连续完全是两回事！

至于您的类比，应修正为：g(x)定义在[0,1]上。当x属于[0,1)时, g(x)=x；当x等于1时，g(x)=0。函数g在x=1这一点不是左连续的。

您关于新新大哥的两问的结论都是错误的。您的“最大的球号，最小的球号，limg(t)=+infi, lim h(t) = +infi”究竟是题中给的那些球中哪两个球？俺再强调一下，“+infi”不是一个正整数，第“+infi” 号球不存在！

您说“这里就用到高等数学极限的概念，也发挥了数学更加精准的特点，而不是靠直觉泛泛而谈”，可见您学过高等数学，请再复习一下“极限”之后的“函数连续性”那部分，想想有没有非处处连续的函数的例子。只有融会贯通了，才能“发挥”“数学更加精准的特点”，而不是靠错觉况况而谈，妄下结论（“正解来也”？过于自信了吧）。

本贴由[冷眼看戏的Lili]最后编辑于：2012-1-27 2:46:24

冷眼看戏的Lili · 发表于 2012-1-27 10:13:44

"可惜貌似未受过严格的数学专业训练"

您"受过严格的数学专业训练"吗?老师是谁？俺得问问您老师去，是怎样培养学生的。

冷眼看戏的Lili · 发表于 2012-1-27 10:20:08

请您再“仔细考察原题的描述”，看看能不能得出与您原先的“认为”有所不同的结论。回头是岸，盼翻然醒悟。

fov22 · 发表于 2012-1-27 10:59:10

你有什么根据时候f（60）=0，你不用长篇大论，如果直接来拼数学，我曾和许多人争论过，都喜欢空讲理论，请证明：f（60）=0

fov22 · 发表于 2012-1-27 11:18:10

怪不得中国学术界都是一群捣糨糊之人，我和很多中国的人都争论过，都是只会讲中文，不会用定理，

你还真以为infi是某个数？ infi是infinity缩写，无穷大，电脑打不出横的8.

给你复习下 lim f(x)=+infi x->60的定义：

对于任意实数M（任意大），都存在一个正数delta,使得当X在（60-delta)∪(60+delta)中，f（x）>M.

这时候就写为lim f(x)=+infi 。

注意f在60可以有定义可以无定义，此题就是没定义。你非要说f（60）=0，依据何在？

另外的，根据我的记号，对于第2问，如果g表示瓶子里球的最好号码，g（0）=2，意思是在0时刻，瓶子里最小的是2号球，我说lim g（t）=+infi,g同样在60无定义，第2问就是要求g（60），你的回答是g（60）=0. 可是一直没给出依据。

不用把问题复杂化，第2问，令f（t）表示在t时刻的瓶内球的个数，你如何证明f（60）=0？

请用数学证明与适当的逻辑，不要空谈

fov22 · 发表于 2012-1-27 11:20:31

我就是数学专业的，分析早学完了现在在玩勒贝格积分，你什么“非处处连续”的函数简直就是3岁小孩的笑话，我还见过处处连续处处不可导的函数，你见识过么

fov22 · 发表于 2012-1-27 11:23:32

更正下，第2问你确实没说g（60）是0，你说f（60）是0。我说f（60）没定义。f是瓶子里球的个数，清楚了么？你给不出f（60）=0的证明，就不要狡辩

fov22 · 发表于 2012-1-27 11:33:35

冷眼看戏;

你还正是能变戏法，瓶子里球越来越多，趋向60的时候比任何数都大，你竟然能说成在60这个时刻就没球了，正是比刘谦还强。我再重申下，此题的描述，就不存在60这个时刻，只能谈及t<60的时刻，知道不。别和我补充函数不连续的状况，我见识的多呢。这个问题现在的关键就是你好好看题。

冷眼看戏的Lili · 发表于 2012-1-27 11:34:44

您在脑坛上跟人争论过吗？脑坛藏龙卧虎，能人高手很多。上脑坛来请先把身段放低一点。自以为高明而随后见拙的不乏先例。

请仔细读读俺上面贴子里的陈述：
(a)按您的术语和符号约定，视瓶中球的个数为时间的函数，它在t=60这点是有定义的，那就是在一分钟内无穷多次（现实生活中当然无人能做到，但在数学理论上是可以、而且是常常这样考虑的）放入取出全部完成之后瓶中球的个数。
(b)你指定某一个球，无论其标号有多大，必在午夜12：00前的某一时刻被取走。那还有什么球能留在瓶中直到午夜12:00？
从这两段陈述，就得到“在午夜12:00时瓶子是空的”这一结论。这也就是您的 "f（60）=0"。

本贴由[冷眼看戏的Lili]最后编辑于：2012-1-27 3:49:20

冷眼看戏的Lili · 发表于 2012-1-27 11:44:03

"只能谈及t<60的时刻" ???

请看原题，其中清楚地写着“1、一分钟之后，也就是到深夜12点时，瓶子里有多少球？”

fov22 · 发表于 2012-1-27 11:53:47

很高兴你没逃走而是继续辩论

看我如何直接反驳你的b：

你这是刻舟求剑,因为根据本题，时间永远到不了60这个时刻。你非要根据生活的直观，假象这个时刻的存在，于是通过直觉推理得出这个荒谬结论。

你思考一下这个问题就知道你的荒谬了：

一个人，从原点走路，第一步走10米，走到10米处，喊1，第2步走5米，走到5米处，喊2，，然后走2.5米。。。问：他走到20米的那刻喊了几？答案是问题就出错了，走不到20米。如果说喊“无穷大”算勉强可以接受的话，那你的意思就是喊“0”。

fov22 · 发表于 2012-1-27 11:57:19

我说了，题目就是这样导致的悖论.

我的意思是要使题目瓶子里的球有意义，（有意义不是指回避无穷大，可以是无穷大），只能谈及T<60,你当然可以谈及t=60，你还能谈及t=100呢，你说f（100）有意义不，是多少啊

冷眼看戏的Lili · 发表于 2012-1-27 12:06:46

请尊重楼主原题，其中清楚地写着“1、一分钟之后，也就是到深夜12点时，瓶子里有多少球？” 不要东拉西扯。

冷眼看戏的Lili · 发表于 2012-1-27 12:11:52

请查查脑坛的历史，看看那xx金牌等胡搅乱缠的下场！

fov22 · 发表于 2012-1-27 12:25:46

我是直接考察f（t）这个函数，f是瓶子里球的个数。

你自己看看你的证明：

你的逻辑是“每一个球在60前都被拿走过，所以在60这个时刻瓶子里没球”这个逻辑已经很间接，有个一个跨越，回避了“瓶子里球的个数”这个概念。我是直接考察“瓶子里球的个数f”的。每一次的操作，总共都往瓶子里添加了一个球，（加2个拿走1个）。再进行一次直接的翻译：

令Sn是n次操作后瓶子里球的代号的集合，s1={2}，s2={3,4}，s3={4,5,6}，可见sn的大小（sn里元素的个数）是增加的。

你的说法是，在”无穷大“的那次操作，（我不认为存在这么一次操作，你缺偏要说理论上存在），S的大小变为0了。你给出的原因是，对于任何的正整数N，总存在M使得SM以后的S中不含N，这个话是对的，但是接下来推导到S在”永远的那刻“的大小是0，这就荒谬了。实际上，N次操作瓶子里的球的个数，如果按照题意直接翻译，就应该译为2N-N=N，且不谈你的“n=无穷”这个思维，就算是利用极限，lim2n-lim n 趋向无穷，也是无穷减无穷，极限是不存在的，不可能是0.你确以静态的眼光说”在那超过任何次操作的永远的操作那次“，S却突然变成了0.

看你名字估计是女的，这个问题不多讨论了，不是我退缩了，实在是没有多大意义。

fov22 · 发表于 2012-1-27 12:28:15

当然，原题还能这么问， 13点整那刻，瓶子多少球？你怎么回答啊？对于一个问题，要在有意义的范围内回答，知道么？而不能盲目迎合

冷眼看戏的Lili · 发表于 2012-1-27 12:35:07

请查查脑坛的历史，看看那金牌等胡搅乱缠的下场！

您是已经拿到数学博士了，还是一个在读博士，或甚至仅是在读学士、硕士？刚刚在玩勒贝格积分，太嫩了点。建议您玩熟了勒贝格积分，再去读测度论；理解了测度论，再去研究非可加测度；运用非可加测度，您就可以玩非线性积分了，诸如Sugeno积分、Choquet积分等。看来没有再下五年十年的苦功夫，您还到不了可以到脑坛来体面地争论数学的水平。

别不知天多高地多厚！

本贴由[冷眼看戏的Lili]最后编辑于：2012-1-28 22:49:10

冷眼看戏的Lili · 发表于 2012-1-27 12:40:06

请再冷静地想想，欢迎继续讨论，并请想好退路。

fov22 · 发表于 2012-1-27 12:41:33

你若是智商真高，敢领教如下问题不，这脑坦都是些简单问题，看我给你的，不用高等数学，不用高级复杂，不是脑筋急转弯，绝对合理，就比智商，不第一注册不太会发帖，你要不会发在脑瘫上让别人帮你：

100个数学家碰见一魔鬼，魔鬼说：“我会让你们排成一条长队，给你们每个人头上带黑帽子或者白帽子，2者其一，然后从后向前问一个一个的问，你头上的帽子什么颜色，每个人只能看到他前面所有人的帽子的颜色，但不能看见自己和身后人帽子的颜色，如果答对，就留下，答错，就被列入黑名单。回答是以喊出的形式，所以大家都听得见每个人的回答。最后黑名单上的人会被枪毙，现在你们可以讨论生存的对策，讨论完就不能说话，站成一队”。

（先站队，后带帽，然后问第100个人，你的帽子的颜色，他只能看见前面99个人的颜色，但不知道自己的颜色，所以他只能猜一个，然后大喊“黑”或者"白“，其他的人都能听见他喊了黑或者白，但是不知道他是否答对了，魔鬼是偷偷的记黑名单的，然后魔鬼就问第99个人，第99个人只能看见前面98个人的帽子的颜色,以此类推）

问，数学家们以什么对策可以存活最多，存活几个？

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