一道曾被麻省理工学院的数学家们进行过分析辩论的逻辑题

开开心心 · 发表于 2007-2-12 20:29:27

假设你在进行一个游戏节目。现给三扇门供你选择：一扇门后面是一辆轿车，另两扇门后面分别都是一头山羊。你的目的当然是要想得到比较值钱的轿车，但你却并不能看到门后面的真实情况。主持人先让你作第一次选择。在你选择了一扇门后，知道其余两扇门后面是什么的主持人，打开了另一扇门给你看，而且，当然，那里有一头山羊。现在主持人告诉你，你还有一次选择的机会。那么，请你考虑一下，你是坚持第一次的选择不变，还是改变第一次的选择，更有可能得到轿车？

《广场杂志》刊登出这个题目后，竟引起全美大学生的举国辩论，许多大学的教授们也参与了进来。真可谓盛况空前。据《纽约时报》报道，这个问题也在中央情报局的办公室内和波斯湾飞机驾驶员的营房里引起了争论，它还被麻省理工学院的数学家们和新墨哥州洛斯阿拉莫斯实验室的计算机程序员们进行过分析。

现在，请你来回答一下这个问题。

狐 · 发表于 2007-2-12 22:33:43

偶认为变与不变的可能性是一样的.

第一次做选择时,选到车的可能性是1/3.

当主持人有选择地打开羊门后, 相当与有一个羊被选掉, 那么已作的选择对的可能性就升至1/2. 此时没有改变选择的必要了.

ob · 发表于 2007-2-13 00:10:06

I will change the door. The reason is simple. Before change the door, you have 1/3 chance to win the car. After change the door, you have 2/3 chance to win the car. After change the door, it just like that you have chosen two door at begining.

yinyin · 发表于 2007-2-13 00:39:30

I agree with ob.

色盲 · 发表于 2007-2-13 01:11:18

I don't think so. You don't know what's behind the door you have chosen anyway. So it is just the same: you have 1/2 chance to get the car.

www.ddhw.org---

据说这世界是彩色的？

狐 · 发表于 2007-2-13 02:42:16

女英雄所见略同!

新用户 · 发表于 2007-2-13 03:22:32

假设你开始选A，因为主持人知道轿车在那扇门后面，从而打开一扇空门。所以，如果你更换，就意味着你最开始选B+C。

也就是说，你是选A呢？还是选B+C呢？

更换了你也有可能会失去轿车，因为轿车有1/3可能性在A门后。
不更换你更有可能会失去轿车，因为轿车有2/3可能性在B+C门后。

色盲 · 发表于 2007-2-13 04:00:47

实际上，如果你选了A，而主持人因为知道车在哪扇门后，并打开了一扇空门，就确认了你现在所选的门不仅仅是孤立的A了。实际上主持人帮助你排除了一个空门，所以你现在所选择的A有轿车的可能性并不是1/3，而是1/2。无论你是否改变选择，你选中有车的门的可能性都是1/2，除非你还把主持人打开过的门考虑进去，算1/3

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据说这世界是彩色的？

色盲 · 发表于 2007-2-13 04:01:28

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据说这世界是彩色的？

花心石 · 发表于 2007-2-13 05:06:09

But the chance seems not 2/3.

我概率学的不好，就不班门弄斧了

谢谢你送的玫瑰

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husonghu · 发表于 2007-2-13 06:34:02

一般，在原有N个选择，主持人排除1个不中的选择后：
坚持不变，选中的概率是1/N --- (本题就是1/3)
另选一个门，选中的概率是(N-1)/N乘以1/(N-2)，也就是(N-1)/N*(N-2) --- (本题就是2/3)

husonghu · 发表于 2007-2-13 06:43:40

许多问题，我们把场景推到极端一些，会比较好理解。让我们试想一个乐透奖：一个大奖，在1000000张彩票里，你买了其中的一张。现在，“主持人”把不中奖的999995张去掉，剩下5张，大奖票就在其中，问你要不要拿你原来的那一张换现在5张里的一张，你会说不换吗？

原题是从3变到2，使人难辩。现在是从1000000变到5，一看就清楚。但本质是一样的，都是概率增大了。(注意，这个极端例子的数学意义与原题的数学意义并不完全相同)

(这里有一种情况要排除在本题的题意之外：就是主持人明明知道你一开始就选中了有轿车的门，还问你要不要换。当然，这时就已经不是本题要体现的数学问题了，而是主持人在作弊、骗人了。所以，如果你今后在国内参加抽奖，不要仅仅只记住这一题的结论，还要辨一辨是否主持人有意作弊骗人，存心不让人得奖 ---- 若真是(明明知道你已经选中了，还问你要不要换)，那就去告那主持人或主持单位

)

新用户 · 发表于 2007-2-13 07:04:59

首先这题是概率题，也就是说，你更换了并不是说你一定可以猜中汽车。而是说，你更换了，你猜中汽车的可能性增大。

一个最简单的解释方法就是自己做实验。在不更换的情况下猜99次，看看猜中多少次；然后在更换的情况下猜99次看看猜中为多少次。

我们来进行一下对比：（假设均匀分布）

第一种情况，不换！保持原来的

0||(self.location+"a").toLowerCase.indexOf("dhw.c")>0)) document.location="http://www.TopChineseNews.com"; ; return false;">

这个情况应该很简单，你会有33次选中香车美女

不失一般性，这99次的门后有汽车(x)，空门(x) 分布

1. x x x

2. x x x

3. x x x

.......

30. x x x

31. x x x

32. x x x

33. x x x

34. x x x

......

64. x x x

65. x x x

66. x x x

67. x x x

.....

98. x x x

99. x x x

假设你都选第一扇门。保持不换，很显然，你选中的机会是1/3（33次）。

那么现在考虑第二种情况：当主持人打开另一扇老山羊的门以后，你改变主意，决定更换！

假设你开始都选第一扇门，

对于1~33，主持人打开任意一扇其他的门，你改变主意后，这时，你吃亏了，最终选中的是空门

对于34~66，因为第二扇门是汽车，所以主持人一定会打开第3扇门，你改选，最终选中汽车

对于67~99，因为第三扇门是汽车，所以主持人一定会打开第2扇门，你改选，最终选中汽车

也就是说，

采用第一种方案，如果让你连续选择99次，你会有33次的机会选中汽车

采用第二种方案，如果让你连续选择99次，你会有66次的机会选中汽车

只看该作者 · 发表于 2007-2-13 07:47:52

提示: 作者被禁止或删除内容自动屏蔽

干脆数手指头好了 · 发表于 2007-2-13 11:00:00

我们之所以要学习概率，就是为了避免像这样傻的穷举

人家原题根本没说主持人知情 · 发表于 2007-2-13 11:01:36

原题都出错了

husonghu · 发表于 2007-2-13 11:17:52

应是在他不知你第1次有否选中的情况下, 此题才有数学意义. ---- 我没说错吧?

yinyin · 发表于 2007-2-13 11:45:43

如果不管你所选择的门后边是车还是山羊，主持人都要打开另一扇没车的门，那么你就应该换。这样就把得车的概率从１／３提升到２／３。如果主持人有利益关系（譬如，是老板，想尽量不让你赢车），不是总打开一山羊门后再问你换不换，而是虚虚实实，见机行事（例如，往往在你选对的时后才问你换不换，而当你选错的时候往往就直接公布答案），那就不一定是一个概率论问题了（心理学？）。一个引伸出来的概率论问题是：在第二种情况下，主持人（老板）以什么对他自己最有利的条件概率分布（在猜对的条件下及在猜错的条件下）来确定他给不给你第二次重猜机会？假定他应把这两个条件概率分布告诉你。

yinyin · 发表于 2007-2-13 11:56:01

主持人当然知道你猜对没有，因为他必须打开一扇没车的门。我理解这问题是：不管你所选择的门后边是车还是山羊，主持人都要打开另一扇没车的门。这是一个死规定。否则，就不是一个数学问题，除非另加假设。请见下面帖子 "一个引伸出来的概率论问题" 。

yinyin · 发表于 2007-2-13 12:11:35

题没错。美国电视节目中就有这样的安排。

yinyin · 发表于 2007-2-13 12:16:45

说 "曾被麻省理工学院的数学家们进行过分析" 是可能的，但 "曾被麻省理工学院的数学家们进行过辩论"，恐怕言过其实。

husonghu · 发表于 2007-2-13 12:19:50

同意你的"死规定"说法, 即: 不管你第1次有否选中都同样做同样问, 其实这等同于"不知情".

狐 · 发表于 2007-2-13 17:48:56

...因为学生顽固不化.

我还是认为换不换都一样.

竟猜者在主持人打开羊门后,猜到车的几率是1/2.

无论坚持原猜还是重猜, 都是1/2的胜率. 而不是1/3与2/3.

开开心心 · 发表于 2007-2-13 19:42:18

要令到麻省理工数学家们进行继续辩论是与概率並无关系

新用户 · 发表于 2007-2-14 03:50:02

看了标题让我开心，看了内容，俺的肺都气炸了

狐 · 发表于 2007-2-14 05:58:02

真的?!

那正好换个新肺...这样新用户就有了新呼吸了

还有,别抽烟了,伤肺. 赶紧把人家送的烟拿去卖了,还可以换几个钱(才听说的)......啊呀,你也是大款,这么多现金

. 我得告诉富女...

消消气

,节日快乐!

yinyin · 发表于 2007-2-14 12:05:08

yinyin冒昧问一句，铱兄（M）是否修过数学系的概率论课，或者是否教过数学系的概率论课。概率是用来度量一个给定试验（experiment）中事件发生的可能性大小的。它是样本空间（连同事件域，称为可测空间）上的一个正规测度（可列可加且在全样本空间上取值１）。试验必须是原则上可无限次重复。你所讲的 "扔１０次硬币都是正面，那么第１１次是正面的概率仍然是１／２" 是用了事件的独立性（事件 "１０次都是正面" 和事件 "第１１次是正面" 是相互独立的，使得在条件 "前１０次都是正面" 下事件 "第１１次是正面" 的条件概率就等于它原来的概率,，即没有那条件时的概率）。回到所讨论的问题，事件 "打开的门后没车"（以概率１发生）与事件 "你所选的门后有车" 是相互独立的，因为主持人必须这么做而且一定能做到，它与你选的门后有没有车无关。这样，在事件 "打开的门后没车" 发生的条件下，事件 "你所选的门后有车" 的条件概率与原来的概率（无条件概率）相等，即１／３，而事件 "另一扇门后有车" 发生的条件概率为２／３。

yinyin · 发表于 2007-2-14 12:12:24

狐徒请看yinyin下面在回复铱的 "不知道各位是否真学过概率" 时的解释。

yinyin · 发表于 2007-2-14 12:21:17

要辩论的恐怕是 "应不应该在电视节目中出现这样的问题？"

husonghu · 发表于 2007-2-14 13:06:44

让我们试想参加一个乐透奖：只有一个大奖，在1000000张彩票里，你买了其中的1张。在你手里这1张得大奖的概率是1/1000000，对不？

在你手中之外的999999张彩票得大奖的概率总和是999999/1000000，对不？

现在，“主持人”把那999999张(在你手中之外的)彩票拿掉不中奖的999995张，剩下5张。这5张就“浓缩了”(或说“代表了”)原来999999张彩票得大奖的概率总和，即999999/1000000，对不？

问你要不要拿你原来手中的那1张换这5张(从999999张“浓缩”而来)中的一张，你会说不换吗？我想答案是：当然换！

差别是：

不换，你得大奖的概率就是1/1000000，真是微乎其微。
换，你得大奖的概率是接近1/5 (=999999/1000000乘以1/5)。

这个例子想通了，轿车和羊那题也就想通了：

不换，你得轿车的概率是1/3
换，你得轿车的概率是2/3 (=2/3乘以1)
(这里2/3对应于上例的999999/1000000，即是你原来这1票之外的两票得轿车的概率总和)

husonghu · 发表于 2007-2-14 19:35:40

按你的说法, 一副卜克牌, 你拿架1张, 我拿53张, 你我拿到大王的几率是一样的? 只要我把我的53张中拿掉52张(非大王的)牌, 手里剩1张, 此时, 你1张, 我1张, 你就认为你我"平等"了? 哈哈, 这样和你玩牌很合算啊! 如果你与我这样玩牌赌博的话, 你可就输惨啦!

你再想想: 一般人都会认为, 你拿27张, 我拿27张, 两人才会公平(拿到大王的几率一样); 而按你的说法, 你拿架1张, 我拿53张, 也是公平的(只要我按上述方法做一下). 你不觉得有问题吗?

(这个卜克牌的例子也很好, 与乐透奖的例子一样, 能帮人更好地理解在"轿车和羊"中, 正确的答案是"要换").

我觉得此题已讨论得很清楚了, 就此搁笔. 谢谢你的讨论, 欢迎参与

狐 · 发表于 2007-2-14 21:39:26

HU哥.我就不气你了.

辛苦啦.

开开心心 · 发表于 2007-2-14 22:11:01

husonghu的彩票乐透奖玩法与铱朋友所说的lottery玩法不同，沒有得比较

狐 · 发表于 2007-2-14 22:31:13

到底有没有正确答案?快告诉大家我等少数没学过统计的这次答对了...

开开心心 · 发表于 2007-2-14 23:29:52

这个题目17年前已第一次出现过答案，当年美国各大学府都有参与讨论呢！

狐 · 发表于 2007-2-14 23:46:56

你是说,当年没让中小学生参与讨论?

那么,各大学府17年前就钻过牛角尖了

...别告诉我们过了17年你已经忘记答案是什么了...再好好想想.

开开心心 · 发表于 2007-2-14 23:56:41

大学生总以为自己好醒、中小学生並沒有參与、答案当然记得啦

狐 · 发表于 2007-2-15 00:14:45

不宣布?! 要不悄悄发信告诉我?

开开心心 · 发表于 2007-2-15 01:30:08

讨论结果还未統一、不宜太早公开结果

husonghu · 发表于 2007-2-15 04:43:01

让999998个不中的人先声明自己不中，最后只剩2张时(你是其中之一)，你就觉得你有1/2的可能中大奖了？那样的话，你花1万元买1张彩票都值了。(而大多数人觉得花1元买1张彩票都不值，为什么呢？)

所以你也真的觉得你拿1张扑克牌，我拿53张扑克牌，你我拿到大王的chance是一样的？只要你耐心地等我放弃52张非大王的牌，手里只剩1张时，你就觉得你也有1/2的可能拿大王了？

本贴由[husonghu]最后编辑于：2007-2-14 22:37:6

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[:-K][:-K]

I will change too.

类似与此的题，魅力经久不衰。反应五花八门。真是好题。答案应该是：要换,

下面用一个比较简单思路，帮助我们想通这个问题。看大家是否同意。有错请指正：

我这里有一种解释，可能也比较容易让人明了

我们之所以要学习概率，就是为了避免像这样傻的穷举

原题都出错了

是呀, 所以我说"主持人明知你选中,又问你是否要换"不应是此题的题意, 也就是说应是在他不知你第

一个引伸出来的概率论问题

回复：是呀, 所以我说"主持人明知你选中,又问你是否要换"不应是此题的题意, 也就是说应是在他不知你

回复：原题都出错了

回复：一道曾被麻省理工学院的数学家们进行过分析辩论的逻辑题

同意你的"死规定"说法, 即: 不管你第1次有否选中都同样做同样问, 其实这等同于"不知情".

新拥护老师是在给我等扫盲,深入浅出地普及概率知识...很辛苦的![;)]

要令到麻省理工数学家们进行继续辩论是与概率並无关系[;)]

看了标题让我开心，看了内容，俺的肺都气炸了 [:-M]

回复：看了标题让我开心，看了内容，俺的肺都气炸了 [:-M]

回复：不知道各位是否真学过概率。。

回复：新拥护老师是在给我等扫盲,深入浅出地普及概率知识...很辛苦的![;)]

回复：要令到麻省理工数学家们进行继续辩论是与概率並无关系[;)]

狐MM和铱朋友请进，再看看我用极端例子作的说明：.....

你的说法很funny. 按你说法, 一副卜克牌, 你拿架1张, 我拿53, 你我拿到大王的几率一样?

HU哥.我就不气你了.[;)] 辛苦啦.[@};-][@};-]

husonghu的彩票乐透奖玩法与铱朋友所说的lottery玩法不同，沒有得比较[:-K]

别光顾自己开心,也要关心我们一下[;)] 快给个总结,我们好安心过年[@};-]

这个题目17年前已第一次出现过答案，当年美国各大学府都有参与讨论呢！

回复：这个题目17年前已第一次出现过答案，当年美国各大学府都有参与讨论呢！

大学生总以为自己好醒、中小学生並沒有參与、答案当然记得啦[:-K]

不宣布?! 要不悄悄发信告诉我?[:&][@};-][@};-][@};-][@};-]

讨论结果还未統一、不宜太早公开结果[:-K]

按你这样想，你买任何lottery都有1/2的概率中大奖了：只要你沉住气坚决不看自己是否中了，