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两个问题不解。 竹筷的长度方向，分布可以是不均匀的，对吗？ 你给出了铅笔的长度范围，这是必要条件吗？ |
（1）对。 （2）是充分条件。  |
筷子和铅笔长度范围的假设都可以去掉。原题给个限制，只是为了方便思考、简化方法。 题可以改写成： 给你一根普通竹筷和一支削好的铅笔，不用其他工具，如何相当精确地（比如说，误差在1毫米之内）用铅笔在筷子上表出这竹筷长度方向的中点、两个三等分点、四个五等分点、...... 。 |
拿铅笔做圆规，以筷子两头为圆心，相对做半圆 2个半圆交叉在筷子上下各有一个交点 连接这2各交点，用铅笔做直线，与筷子交叉点即为等分点 类似重复可以取得3分5分N分点 初中中分线基本技能的扩展而已 |
一支铅笔，怎么做成圆规啊？即使有圆规，在哪儿画那两个半圆呀？即使有了等分点，怎样“类似重复”去“取得3分5分N分点”？ 俺上过初中，可脑瓜子还是转不过弯儿来。 |
虽然普通圆规是2个脚的，但是圆规的基本思想是一头固定，以定长为半径画出轨迹。一支铅笔可以做圆，一根绳子也可用作圆规。 一个三角形的重心在其任何一点定点到对边的中点的1/3处，即3分点，因此如果要分这个筷子的3分点，让这个筷子成为一个三角形的对边中分线，就可以了。具体方法是，将筷子一头按任何非平行于筷子本身的方向朝2边延长，使得该筷子端成为一条边AB的中点。然后连接A和筷子另外一端C，连接BC，按前面方法做AC的中点D，连接BD，BD与筷子交点即为筷子一个3分点。。。。。。。 可能这个方法太复杂了？早有更简单的答案吧？ |
光用一根铅笔就能当圆规使？俺怎么不会呢？俺得找根绳子才行。 用圆规直尺作图，俺在初中时学过。所以，您在纸上（或别的平面媒介上）用圆规和直尺在一根给定线段上找出三等分点的办法，俺还能勉强看得懂。那五等分点呢？N等分点呢？怎样“类似重复”？俺就一时转不过弯来了。请多多指教！  俺给的题中，要求“不用其他工具”  （当然要用脑子、眼睛、双手）来找出相当精确的等分点、三等分点、...... 。这个问题的实用性较强。例如，平地上有两棵树（譬如说，相隔十多米），打算在它们之间再均匀地种上几棵，手上就有一把铁锨，在哪里挖坑？  出题的人，一般都得自己有答案。 对没有答案的题（讨论题），最好能在贴题时注明。湘西的杜崇烟州长，好像是被判了十年。  or |
“还能勉强看得懂”中“勉强”两字用得妙。  瞧那杜“重心”，是从哪儿到哪儿的1/3处？ |
您过分解读啦。杜先生的回贴虽然没给出俺原题的解答，但也让俺复习回顾了一下初中学过的平面几何知识。应该谢谢杜先生！  当然也盼杜先生继续为脑坛做出贡献。 |
俺在制作下面贴子中（http://www.topchinesenews.com/readpost.aspx?topic_id=9&msg_id=8853&level_string=0z05&page=1）的小玩具（双珠联）时，中间那个孔就是仅用一支铅笔来定位的。 |
楼主公布答案吧 |
俺还是挺有耐心的，想等杜先生或其他朋友来给出切实可行的办法。其实，容易得很哪。 您是否可以再耐心地等等？若您就是上面那位杜先生，就请再动动脑筋。 实际上，在日常生活中常会遇到这类问题，您是怎样解决的？ |
我作出了3等分点, 但无法用于其它等分点. 我觉得这不是标准答案. 答案应该是可以普遍适用的.2等分比较容易, 我的方法和杜大同小异. 这个方法也可以用于4等分, 8等分...... 我3等分的方法是: 以筷子为底边(BC), 用铅笔的边长为两直角边,做出一个正方形(ABCD). 从正方形的一边(比如BD), 用铅笔找出2等分点M(方法前面杜说过), 从另一顶点A, 向M引直线AM, 这条直线穿过筷子BC, 交叉点就是3等分点. 数学上可以证明. |
补充: 第一, 正方形是可以作出来的 第二, 不作正方形, 作菱形也可以. |
我可能作出了一个普遍适用的方法: 随便画一条短直线AB,用铅笔和筷子帮忙(比如在筷子上标出AB的长度,用筷子做尺子辅助画线,等等)沿长AB到C, 使AB=BC,这样一来B就成为AB的2等分点. 然后把筷子平行放在AC下面(用笔和筷子辅助,可以做到),作为线段MN,通过点M和点A做直线, 通过点N 和点B做直线,MA和NB的沿长线交叉与点P,通过点P和点B连线,与MN的交点就是MN的2等分点. 同样,如果把BC再沿长一段, 成为ABCD, BC 为AD的3等分点, 用同样方法可以把筷子3等分. 三角形PMN是否需要是直角三角形, 我还没想好. 现在只是个思路, 我先出去吃饭了. |
欣赏您的钻研精神！  您这么做是需要一杆足够长的直尺，还要有一个足够大的能在上面划线的平面。俺给的题中可没有提供这些方便。 请更正您帖中的一些typo（笔误），以使大家易于理解您的思考。 |
那就把更正了的再发一次。 |
条件太有限了：你无法作三角形，因为只有两根棍子。你无法作图，因为没有纸张。 |
诸位都钻牛角尖了。 没那么复杂，明儿个俺把过程拍下来公布。 |
假设铅笔的长度不小于筷子长度的一半。 （1）左手拿筷子，右手拿铅笔，并用一指甲掐在铅笔杆上一适当点，使得该点到笔尖的距离（目测）大约在筷子长度一半左右。然后用该指甲顶着筷子一端，并让铅笔平行紧贴筷子，用左手一指甲掐住笔尖在筷子上的垂直投影点。 （2）右手保持掐点不变，拿铅笔在筷子上左手掐点处作一记号。 （3）右手拿铅笔并保持掐点不变，左手把筷子掉个头，再按（1）中方法做一遍。 （4）右手拿铅笔在筷子上左手掐点处再作一新记号。 （5）若新老记号重合，那记号处就是筷子长度方向的中点；一般情况下，新老记号构成一个小区间，那就很容易目测确定这小区间的近似中点，用铅笔在该处划一道。它就是筷子长度方向相当精确的中点。如果不放心，可用类似于上面的过程来检验一遍，加以修正，直到误差可接受为止。 如果铅笔不够长，或者要找三等分点、五等分点，用上述方法略加修改即可。 |
不是三倍数的任何的数， 被三除的小数位不是。.33333333333.....就是 .666666666.... 是无限的， 所以说任意数除了三倍数， 是不能三等分的， 不管你用不用工具， 也不管你用什么工具。 法国科学院的数学家们已经在两世纪前给出结论了。 |
牛头不对马嘴。谁让你去分一个整数为三个相等的具有有限位小数的实数了？ “三等分点是不存在的”？？？懂得实数、有理数和无理数吗？这可是中学数学基本知识。 不过，还得感谢你。你向坛上朋友们展示了这样一个真理：1/3和2/3都不能精确地表示为十进制有限位小数。高深！高深！！绝对高深！！！ 这可能是比二百年前法国科学院的数学家们还要伟大得多的现代数学家杰出思维，您该当选为"连喝国科学院首席院士"。无知无畏啊！  |
俺可没说是整数被三除. Lily给出的题是找三等分的两个等分点.俺说的是如果这个长度不能被三整除, 是不可能三等分的.俺学数学的时候, 整除的含义是指除得余数是0 . 并不是除出整数来. 也许我该说除尽. 我想你不需要我多解释明白怎么回事.至于你说的高深, 俺不敢当.还是您比较高深.佩服佩服. 俺学数学讨论的时候, 就有讨论过找三等分的问题.老师说每年都有民间高手自称用规尺找到三等分的办法.跟19世纪欧洲一样, 那么多人说找到了.最后法国科学院的数学家们不得不出来给给结论, 说: 不可能是任意数.只能是那些被三除尽的数. |
如果能找到任意角的三等分, 则能找到任意线的三等分. |
是吗？ |
画一条线经过你要"三等分"一个顶点 (假设你的原线一顶点是O, 设另一个顶点是K), 然后在新画的线的另一端点(假设是B)直线延伸(假设你可以)等长这条新划的线(OB), 记下这一端点(C), 再等长延伸一次 (D), 现在OB = BC=CD., 连接KD, 然后分别通过B,C做KD的平行线, 交KO于 B' C' 因为 OB=BC=CD, 可以"证明" OB'=B'C' = C'K, 你的线被"三等分"了.这样的方法, 可以任意等分线. 俺说"证明"相等, 是俺抱定一个数不能被三除尽就不能三等分的代数.当然你可以无限接近三等分.用极限的定义说三等分. |
俺并非不知道这些方法, 但是羞于不知道如何证明这些方法不对. 俺相信那个告诉俺任意线是不能三等分的老师. |
比如我给你1, 你三等分了, 也就是说: 0.3333...., 那么到最后一个小数的精度(当然是不存在)数是什么呢? 3?, 3+3+3是9. 当然你说1/3, 1/3, 1/3就是等分了. 恕俺数学不好, 理解不了. |
怎么看来象是没受过正规数学训练的人说的话呢。俺劝你还是收敛点好。瞧瞧你这两天的一些帖子，语无伦次的有，逻辑混乱的有，让人费解的有，前后矛盾的有，仓促改口的有，乱用术语的有。是否需要逐条逐句来点评你的自以为是的大论，你才会对自己有个稍微客观一点的评价？还是积点德为好，你也许不在乎自己的颜面，但也不应逗乐把别人逗得掉了牙。 在还没有弄清自己位置的时候，最好不要说“天就只有锅盖那么大”，更不要一上台、一张口就想挖苦别人。先多看看，对你会有好处的。 |
自己安慰自己. |
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