证明：不存在正整数x, y, z 满足xn + yn = zn (整数n ≥ 3) ----"费尔马大定律”
a). 设存在三个正整数x, y, z , 且 x = y = z, 满足 xn + yn = zn
则有， 2xn = xn, 故，xn =0
x = y = z = 0
与所给条件相矛盾。
b) 设存在三个正整数 x, y, z (x ≠ y, x = z) 满足 xn + yn = zn
则，yn = zn – xn = 0, 故，y = 0
与所给条件相矛盾
（同理对三个正整数 x, y, z (x ≠ y, y = z)
c) 设存在三个正整数 x, y, z , 且x = y ≠ z, 满足 xn + yn = zn
则，2xn = zn
z = 21/n x
因为21/n （n ≥ 3）是无理数 （见所附证明），x 为正整数，z 则为无理数。
与所给条件相矛盾
d) 设存在三个正整数 x, y, z , 且x ≠ y ≠ z, 使得 xn + yn = zn.
因为 x, y, z 为不相等正整数, 必存在整数 a, 使得 x +y = z + a
同乘 (xyz)m, 得：
xm+1(yz)m + ym+1(xz)m = zm+1(xy)m + a(xyz)m
代入 zm+1 = xm+1 + ym+1， 有：
xm+1[(yz)m – (xy)m ] + ym+1[(xz)m - (xy)m] = a(xyz)m
xm+1ym (zm – xm ) + ym+1xm ( zm - ym) = a(xyz)m
xmym [x(zm – xm ) + y ( zm - ym)] = a(xyz)m
xmym (xym + yxm) = a(xyz)m
xy (ym-1 + xm-1) = azm
xyzm-1= azm
所以有：xy=az.
因为 x +y = z + a，即 z = (x +y) -a
代入 xy=az， 得：
xy = a (x + y) –a2
所以得 a 的一元二次方程 a2 – a (x + y) + xy = (a – x)(a – y) = 0.
有根：(1) a = x; (2) a = y。
代入根 a = x 于 x +y = z + a 中，得 y = z. 与条件 x ≠ y≠ z 相矛盾
代入根 a = y 于 x +y = z + a 中，得 x = z. 与条件 x ≠ y≠ z 相矛盾
所以，不存在整数 a 使得 xn + yn = zn 对三个正整数 x, y, z （x ≠ y≠ z）成立。
所以，不存在正整数x, y, z 满足xn + yn = zn (整数n ≥ 3)
证毕。
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附：证明21/n （n ≥ 2）是一个无理数。
假设21/n （n ≥ 2）是一个有理数.
则存在不可约整数 a 和b， 使得21/n = a/b.
那么，2 = an/bn 或 2bn = an. 有：an = 偶数。
则，a 必为偶数。因为奇数的 n 次方总还是奇数。
设，a = 2d. 那么，an = 2n dn. 有：bn = 2n-1dn
即，bn = 偶数。同上理，b 必为偶数.
至此，a 和b 有公约数 2，
与 “a 和b 为不可约整数”相矛盾。
所以，21/n （n ≥ 2）是一个无理数
证毕。
You seem to assume that for the given set of (x,y,z), x^n + y^n = z^n is true for all other values of n, such as x^n-1+y^n-1=z^n-1. This looks like a flaw to me. |
Joke.  |
不错，非常好，学习了 |
费尔马大定律——不存在正整数x, y, z 满足xn + yn = zn (整数n ≥ 3)，是说对于 ≥ 3的整数n， 找不到满足xn + yn = zn 正整数x, y, z；当然等价于对于任意正整数x, y, z，找不到满足xn + yn = zn 且≥ 3的整数n； 上述证明中d) 设存在三个正整数 x, y, z , 且x ≠ y ≠ z, 使得 xn + yn = zn.的ｎ意思不明； 如果是存在整数ｎ ≥ 3，则不应有ｍ和m+1，同时认定满足xn + yn = zn 如果n是≥ 3的任意整数，则无须证明（只须给出一例） |
d) 设存在三个正整数 x, y, z , 且x ≠ y ≠ z, 使得 xn + yn = zn. 因为 x, y, z 为不相等正整数, 必存在整数 a, 使得 x +y = z + a 同乘 (xyz)m, 得： xm+1(yz)m + ym+1(xz)m = zm+1(xy)m + a(xyz)m 代入 zm+1 = xm+1 + ym+1， 有： xm+1[(yz)m – (xy)m ] + ym+1[(xz)m - (xy)m] = a(xyz)m xm+1ym (zm – xm ) + ym+1xm ( zm - ym) = a(xyz)m xmym [x(zm – xm ) + y ( zm - ym)] = a(xyz)m xmym (xym + yxm) = a(xyz)m xy (ym-1 + xm-1) = azm xyzm-1= azm 所以有：xy=az. 因为 x +y = z + a，即 z = (x +y) -a 代入 xy=az， 得： xy = a (x + y) –a2 所以得 a 的一元二次方程 a2 – a (x + y) + xy = (a – x)(a – y) = 0. 有根：(1) a = x; (2) a = y。 代入根 a = x 于 x +y = z + a 中，得 y = z. 与条件 x ≠ y≠ z 相矛盾 代入根 a = y 于 x +y = z + a 中，得 x = z. 与条件 x ≠ y≠ z 相矛盾 所以，不存在整数 a 使得 xn + yn = zn 对三个正整数 x, y, z （x ≠ y≠ z）成立。 ========================================================================== ==========有问题
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对了。一旦用来作为条件，n就是一个任意，但是给定值。不是变量。 经管我换用了m, 试图把问题变得模糊一点， asdfasdf 还是一眼就看出来了。 |
必存在整数 a, 使得 x +y = z + a这步有问题？ |
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