珍珠湾ART

标题: 扳着手指头数数 [打印本页]

作者: yinyin 时间: 2007-11-19 09:39
标题: 扳着手指头数数

归并同类项后，

（1）二元三次多项式最多能有多少项？

（2）一般地，m 元 n 次多项式最多能有多少项？

本贴由[yinyin]最后编辑于：2007-11-19 9:35:17

作者: yinyin 时间: 2007-11-19 12:49
标题: 回复：扳着手指头数数

最近有幸聆听某院士关于“高维仿生信息学”的学术报告，其中有涉及数学中回归（regression）问题的论述和结论，实在不敢苟同。随之冒出上述问题，供网友们思考。

本贴由[yinyin]最后编辑于：2007-11-20 9:52:41

作者: best88 时间: 2007-11-19 18:14
标题: 我就擅长扳着手指头数数赶紧进来看看结果还是灰溜溜的跑吧 [:-D]

我就擅长扳着手指头数数赶紧进来看看结果还是灰溜溜的跑吧

作者: salmonfish 时间: 2007-11-19 22:26
标题: 试一试

对齐次多项式：（x₁+ x₂ +....+ x_m)ⁿ

（1）二元三次多项式最多能有多少项？

4个

（2）一般地，m 元 n 次多项式最多能有多少项？

n^m-1+1 个？

（连脚趾头都用上了。）

本贴由[salmonfish]最后编辑于：2007-11-19 17:32:13

作者: husonghu 时间: 2007-11-20 00:31
标题: 三文兄, 当讲N次多项式时, 是否应包括N, N-1, N-2, ...., 0次所有的项?

三文兄, 当讲N次多项式时, 是否应包括N, N-1, N-2, ...., 0次所有的项?

本贴由[husonghu]最后编辑于：2007-11-19 16:32:21

作者: salmonfish 时间: 2007-11-20 00:50
标题: 我想是应包括合并后所有的项吧。

不考虑常数系数，我考虑的是齐次多项式：（x₁+ x₂ +....+ x_m)ⁿ

本贴由[salmonfish]最后编辑于：2007-11-19 17:3:36

本贴由[salmonfish]最后编辑于：2007-11-19 17:24:27

作者: husonghu 时间: 2007-11-20 01:01
标题: 也许我没正确理解yinyin的题意, 我是说, 比如说2元3次多项式, 最多应总共有10项:

4个三次项: X^3, X^2Y, XY^2, Y^3,

3个二次项: X^2, XY, Y^2

2个一次项: X, Y,

1个零次项: 常数项

作者: salmonfish 时间: 2007-11-20 01:06
标题: 是我理解错了。忽略了“最多”一词。[:>][:>]

是我理解错了。忽略了“最多”一词。

本贴由[salmonfish]最后编辑于：2007-11-19 18:14:58

作者: husonghu 时间: 2007-11-20 01:37
标题: 烧木棒一题以前的讨论我已放在楼下(抱歉迟了), 当然本质都是与你的方法一样, 做法不同而已.

烧木棒一题以前的讨论我已放在楼下(抱歉迟了), 当然本质都是与你的方法一样, 做法不同而已.

作者: 孜孜不倦@. 时间: 2007-11-20 04:27
标题: 扳一扳 >.<

a): 4^2 - 6 = 10

本贴由[孜孜不倦@.]最后编辑于：2007-11-20 0:41:6

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作者: idiot94 时间: 2007-11-20 05:51
标题: 呵呵，兄弟，您那个n! 是 n 的阶乘吗？：）那您觉得那两个数那个大一点儿啊？：）

呵呵，兄弟，您那个n! 是 n 的阶乘吗？：）那您觉得那两个数那个大一点儿啊？：）

作者: HF: 时间: 2007-11-20 06:47
标题: 回复：扳着手指头数数

（2）一般地，m 元 n 次多项式最多能有多少项？

Assume it is f(m,n), then we have the following formula of induction:

f(m,n) = f(m-1, n)+f(m-1,n-1)+...+f(m-1, 0), and initial condition:

f(1,n) = n+1

作者: 孜孜不倦@. 时间: 2007-11-20 08:41
标题: a,多谢提醒 >.<

a,多谢提醒 >.<

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作者: yinyin 时间: 2007-11-20 19:18
标题: 回复：扳着手指头数数

HF兄的递推公式指出了“扳着手指头数数”的一条路子，公式本身是正确的（

HF兄的数学功底和逻辑思维厉害啊）。但当 m 或 n 较大时，恐怕难以“扳”出个正确的结果来。例如，对该院士学术报告中采用的 m=100 和 n=3 ，用递推公式来计算 f(m,n)，实在是一条漫长的、容易出错的路。朋友们能否给出 f(m,n) 的一个显式 (explicit expression)，并用那显式算出 f(100,3) 来？

作者: yinyin 时间: 2007-11-20 19:27
标题: 是第一问的正确答案[:-Q]

这也可看作使用HF兄的递推公式的一个例子（扳着手指头算出来的）

。（2）呢？扳个100元3次的试试。

作者: idiot94 时间: 2007-11-20 20:27
标题: 呵呵，小的也来试试吧：

m 元 n 次式的每一项（同类项）都是以下形式：

product(x_i ^ k_i, i=1 to m), where x_i 's are the variables and k_i 's are the powers with k_i >=0 and

sum(k_i, i=1 to m) <= n .

Easy to see that a unique feasible (k1, k2, ... k_m) vector corresponds to a unique term. Therefore # of feasible vectors (k1, k2, ..., k_m) subject to k_i >=0, sum(k_i) <=n is exactly the # of terms requested.

Furthermore, let (w1, w2, ..., w_m) be a vector of increasing positive numbers chosen from {1, 2, 3,..., m+n}, subject to: 0

The mapping: k_i := w_i - w_(i-1) - 1 is apparently 1-1, and it satisfies: k_i>=0 and sum(k_i, i=1 to m) = sum( w_i - w_(i-1) -1, i=1 to m) = w_m - w0 -m = w_m - m <= m+n-m=n. Therefore, the k_i 's will form a feasible vector.

And for every feasible vector (k_i), the reverse mapping is obvious.

Therefore the # of terms = the # of choices of m out from m+n numbers = C(m, m+n).

作者: HF: 时间: 2007-11-20 20:41
标题: 回复：呵呵，小的也来试试吧：

Excellent.

作者: HF: 时间: 2007-11-20 20:49
标题: 回复：回复：扳着手指头数数

"高维仿生信息学” -- sounds interesting. Can you post some introductory documents on this?

作者: 孜孜不倦@. 时间: 2007-11-20 21:57
标题: 强大。。。

强大。。。

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作者: yunqili 时间: 2007-11-21 01:59
标题: 正解. [:-Q]其实...

很容易,如果思路清晰的话.

作者: yunqili 时间: 2007-11-21 02:11
标题: 简化模型...

最多可放N球放到M洞里,每洞可以多放,可以不放.多少放法?

本贴由[yunqili]最后编辑于：2007-11-20 18:16:28

作者: yinyin 时间: 2007-11-25 21:29
标题: 回复：呵呵，小的也来试试吧：[:-Q]

应写为C(n+m,m)。

作者: yinyin 时间: 2007-11-25 21:33
标题: 回复：简化模型...[:-Q][:-Q]

相当于放一个垃圾桶，看作第m+1个洞。就把问题转化为已讨论过的球与洞的问题了。

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