棉mm问题的概率解法.
对棉mm题（见http://www.topchinesenews.com/listo.aspx?topic_id=9&msg_id=7787&level_string=0&page=3 ）可理解为厂商生产了大量的game，共5种，各占20%，每盒 SugarRush cereal 中随机地装入一个game，并随机地分发到各零售点。现购买12盒SugarRush cereal ，要计算从这12盒能拿全这5种game的概率。因生产量非常巨大，这问题可近似地改述为球与洞的问题：假设有5个可区分的足够大的洞，编号为1、2、3、4、5。把12个不可区分的球随机地放入这5个洞中，求事件“5洞皆有球”的概率。
先前，yinyin给出了“5洞皆有球”的概率为“1-C(5,4)(4/5)12+C(5,3)(3/5)12-C(5,2)(2/5)12+C(5,1)(1/5)12.
现用概率论的观点来解释：
事件“5洞皆有球”的对立事件是“5洞中至少有一洞无球”。所以，
“5洞皆有球”的概率 = 1-“5洞中至少有一洞无球” 的概率。
事件“5洞中至少有一洞无球”可表为“1号洞无球”、“2号洞无球”、……、 “5号洞无球”这C(5,4)=5个事件的并，每个都具有概率(4/5)12 （因每个球进入5洞中指定的4洞的概率是4/5，12个球如何进洞是独立的）。将这些概率加起来，就得C(5,4)(4/5)12。但这还不是所求对立事件 “5洞中至少有一洞无球” 的概率，它被多算了一些，因为这5个事件并不是“互不相容”的，即它们可能同时发生。例如，“12个球都进了3、4、5号洞”，既是“1号洞无球”，又是“2号洞无球”。因此，在计算事件 “5洞中至少有一洞无球” 的概率时，应在
C(5,4)(4/5)12中“扣除”那些被重复计算了的部分。那些被重复计算了的事件看来就是各种“12个球都进了指定的3个洞”，像上面提到的“12个球都进了3、4、5号洞”那些，它们共有C(5,3)个，每个都具有概率(3/5)12。这就有了C(5,4)(4/5)12- C(5,3)(3/5)12。但这还不对，因为有被扣重了的部分。例如“12个球都进了4、5号洞”既是“12个球都进了3、4、5号洞”的一部分，也是“12个球都进了2、4、5号洞”的一部分，所以要补回一点。但补回的那一点中还有重复部分，故要再扣去一些。最后就得到事件“5洞中至少有一洞无球”的概率为C(5,4)(4/5)12-C(5,3)(3/5)12+C(5,2)(2/5)12-C(5,1)(1/5)12.
这里面正负交替出现。
这样，“5洞皆有球”的概率就是1-C(5,4)(4/5)12+C(5,3)(3/5)12-C(5,2)(2/5)12+C(5,1)(1/5)12.
这只是推导的思路，最后两项系数的确定是很难直接想清楚的，最好还是用概率论中表达诸事件交的公式或者以多项展开的办法来确认。从HF的递推表达式经多次迭代也可得到这一结果。
不好意思。实在是太忙，隔了好长时间才贴出。望朋友们见谅！若有不当之处，诚请指正。 MS Word 的Equation没法帖上来，只得尽量避用数学表达式，这使得陈述很麻烦。有哪位高人指点一下，怎样才能把Word文件贴上。谢谢了！ |
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