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标题: 数学大师都回来了，那个至今没人做的数学题捡起来再贴上。 [打印本页]

作者: yinyin 时间: 2007-1-6 01:39
标题: 数学大师都回来了，那个至今没人做的数学题捡起来再贴上。

证明：无限全序集必有单调子序列。

作者: HF: 时间: 2007-1-6 17:53
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You can first pick a countable (but infinite) subset A = {a_1,a_2,...} and map the set to a subset of [0 1] by the

following procedure:

map a_1 to f(a_1) = 0.5

a2: f(a_2) = (f(a_1)+1)/2 if a_2>a_1, (f(a_1)+0)/2 if a_2

....

a_n: find s,ka_n, ia_n,i

....

Notice that {f(a_i)} has the same order structure as {a_i}

Now, we get an infinite subset {f(a_i)} of [0 1], so, we can find a subsequence which converges to some real number r, and we can either pick a monotonic increasing or decreasing subsequence, and the corresponding subsequence of {a_1,a_2,...} satisfies the requirement.

作者: 野菜花 时间: 2007-1-7 04:49
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如果这个数集无上界，有一个递增子序列，趋于无穷大：在这数集中任取一数为a1，因为无上界，必存在a2大于a1，等等。

同样如果这个数集无下界，有一个递减子序列，趋于负无穷大。

如果这个数集上下有界，必存在聚点

A，即在包含A的任何开区间中都有无限个点。

容易证明

如果A不是右聚点 (即任何以A为右端点的区间包含无限个点), 就是左聚点 (即任何以A为左端点的区间包含无限个点)，如果A既不是左聚点又不是右聚点，必存在一个包含A的开区间，只包含有限个点，与A是聚点矛盾。

设

A是右聚点，以A为右端点的任意开区间里任取一点为a1，在(a1，A)中任取一点为a2，在(a2，A)中任取一点为a3，。。。则得一无限递增子序列。

若

A是左聚点，同法可得一无限递减子序列。

作者: yinyin 时间: 2007-1-7 05:26
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