双面棋子解答 - 珍珠湾ART

有一个mxn的棋盘，上面有m*n个一面黑一面白的棋子，一开始都是黑面朝上。你现在玩这样一个游戏：第一步，任选一个棋子翻过来。以后的每一步都是拿掉一个白面朝上的棋子，然后把与这个棋子相邻的棋子都翻过来。你的目的是把所有的棋子都拿掉，即如果在某一步，剩下的棋子都是黑面朝上，你就输了。

对什么样的m和n，你能赢？

当m和n有一个是奇数时，野姐姐构造了一个方法。两个都是偶数时不能。

假设有这样一种方法。每个棋子都可以做两件事：被别的棋子翻过来，或者把别的棋子翻过来。对每个棋子来说，这两件事的和就是与该棋子相邻的棋子数。对整个棋盘来说，这两件事的总和是 2*4 + 3*(2m+2n-8) + 4*((m-2)*n-2)，是4的倍数。而这两件事是对称的，即被别的棋子翻过来的总数与把别的棋子翻过来的总数相等，都是上面竖的一半，即都是偶数。而所有的棋子，除了第一个外，都要被翻过来奇数次，因此被别的棋子翻过来的总数是奇数，矛盾。