单摆运动的切向加速度变化规律为a=Gsin(ωt)，加速度方向始终垂直于摆线。 其运动规律为：切向加速度最大时，摆锤运动速度为0（左侧最高点）；然后加速，经1/4个周期，加速度为0，运动速度最快（摆至最低点）；然后减速（因加速度反向），再经1/4个周期，加速度最大，运动速度为0（摆至右侧最高点）；余类推……
四、类比 现在去掉其他一切因素，只考虑质点m在垂直于半径方向所具有的加速度a=Asin(ωt)，与我们所熟知的单摆比较。
（陀螺上质点的受力与单摆唯一的区别就在于它是受迫振动，符合“受迫单摆运动规律”，其运动方式与普通单摆一致。）www.ddhw.com
考虑到陀螺边缘质点m的受力规律与摆锤相同（以质点m为摆锤，以质点至圆心的半径为摆线），其运动规律也应与摆锤一致，即：加速度最大时（12、6）两位置，其空间位置不变（在垂直于半径方向瞬间静止速度为0），边缘每个质点都在受迫振动，加速度及运动规律相同，并且共同组成圆环，上图的速度分布就是圆环运动状态。由质点组成圆环，不同半径的圆环组成圆盘，圆盘上每个质点都遵循着受迫振动的规律
因此圆盘12、6的连线始终保持原位，也就是说圆盘不会出现以水平直径为轴的翻转。
正如单摆的摆锤从最高点在回复力作用下逐渐加速一样，m转过12点位置也在a=Asin(ωt)的作用下逐渐加速，经1/4个周期速度达到最大，a=0；然后，由于a反向并逐渐增加，m将减速，过1/4个周期速度再次为0（到6点位置）。因此质点m受a=Asin(ωt)作用，其速度分布如下图
质点m作圆周运动（沿兰盘的边缘），红色和绿色部分代表质点m在每一位置所具有的垂直于圆盘的运动速度。红色和绿色部分是与兰盘垂直的，因此红色部分（圆盘左半部）朝向我们运动，另一侧反之www.ddhw.com
（边缘每个质点都在受迫振动，受力及运动规律相同，并且共同组成圆环，上图的速度分布就是圆环运动状态。由质点组成圆环，不同半径的圆环组成圆盘，圆盘上每个质点都遵循着受迫振动的规律）www.ddhw.com
根据质点受迫振动联想到单摆的运动规律，再结合上面的图，可以看到12、6两位置垂直于圆盘（半径）的运动速度为0，也就是12、6的连线空间位置不变，因此整体不会出现以3、9连线为轴的翻转，这就是陀螺的定轴性（或称稳定性）。
其他位置：左半部速度向外朝向我们运动，右半部向内运动，使整体出现绕12、6连线为轴的翻转，这就是陀螺的进动性。
综上所述，旋转的圆盘在受到力偶作用时，将会沿与力偶的力垂直的方向翻转。由于力偶的可平移性，引起此现象的可以是任何作用于圆盘上的外力矩。
现在回到这个图
陀螺受到重力与支点的支撑力形成的外力矩，本应掉下来（不转时的确如此），但当它旋转时，根据以上分析，其旋转盘不会以水平直径为轴翻转，也就是不沿重力方向运动（一端保持悬空不掉下来）；同时旋转盘将出现沿竖直轴的翻转，陀螺自身将产生水平方向的翻转，但受到支点的制约，表现为整体绕支点做水平旋转。
如果支架没有质量底座没有摩擦（假想状态），那么就会表现为支架绕陀螺作圆周运动。www.ddhw.com
对稳定运行的陀螺就其定轴性及进动性进行的定性分析到此已告一段落。陀螺不倒就这么简单
理解陀螺不倒的关键在于将陀螺的下倒理解为旋转盘的翻转
五、质点受迫振动
根据f=ma，质点在垂直于半径方向实际上是受到了周期力的作用，12、6两点处受力最大，定为F,-F
质点m受周期力 f(t)=Fsin(ωt)
其加速度为 a(t)=f/m=Fsin(ωt)/m
运动速度为 v(t)=Fcos(ωt)/mω
六、圆盘以12、6连线为轴旋转（进动）的角速度www.ddhw.com
再回到这个图
I……圆盘转动惯量（以直径为轴，上图的黄线）
Q……外力矩
α……角加速度
根据刚体转动定律有
α=Q/I
12点处的线加速度A=αR=QR/I；
质点受力F=mA=mQR/I
质点垂直于圆盘的运动速度v(t)=Fcos(ωt)/mω=[mQR/I]cos(ωt)/mωwww.ddhw.com
9（3）点处的速度（ωt=π，0）
v=[mQR/I]/mω=mQR/Imω=QR/Iω
这是质点m垂直于半径（圆盘）运动的线速度，这个速度与半径之比就是圆盘以12、6连线为轴旋转的角速度（其他任何位置都会得到相同的结果）
Ω=v/R=QR/IRω=Q/Iωwww.ddhw.com
这个公式Ω=Q/Iω中的Q是外力矩，对于这个图
Q=MgL
（由于是计算重力矩作用下，圆盘边缘的轴向加速度，所以选择陀螺对支点的转动惯量J）
因此它进动的角速度Ω=Q/Jω=MgL/Jω 七、问题 我没有条件试验，请看到的朋友评判（试验已经完成，就附在本帖结尾处，结果证明两陀螺进动速度不同）
八、后续问题 如果我的思路正确…… 我可以讲清楚章动、以及维持陀螺运转所需的最小自转角速度及最大外力矩临界值问题 具体到任何一个陀螺，外力矩MgL和自转角速度ω都存在一个临界值，外力矩一定时自转角速度必然有个最小值、自转角速度一定时外力矩必然有个最大值，在此范围内陀螺作规则运动，一旦越界，陀螺将不能保持平衡而倾倒，这个临界值如何确定？www.ddhw.com
质点受迫振动的运动方程是非线性微分方程 以下摘录有关资料上的几段话：
“上式是振动系统的振动特性与驱动力间的关系式，称为频率特性。注意到其第一项是随时间衰减的，在经过一段时间之后这一项将衰减到可以忽略的程度，这个衰减过程常称为系统的过渡过程，最后仅剩下第二部分。因此我们也可只讨论第二部分的特性。”
这里似乎论述的是“章动”……众所周知，章动有个从陀螺最初开始运行后逐渐衰减的过程，最后减至可以忽略的程度。 www.ddhw.com
“综上所述，受驱单摆的运动状态有如下特点：
⑴在小驱动力下，单摆作规则的周期运动。当驱动力矩增加到某—临界值时，单摆从周期的运动状态进入随机运动状态，这种状态常被称为混沌。”
这也许就是我们希望找到的最大外力矩的临界值。
“设驱动力振幅F保持常数，而驱动力频率n由小到大值缓慢增加，这时振幅逐渐增加，即共振点由1运动至2。然而在到达点2后，如再继续增加n值，则振幅A发生向上跳变，由点2跳到点3，并伴随着解x的相位反相。再继续增加n值，则振幅逐渐减少。当n值由大到小减少时，开始振幅逐渐递增加，在到达点4后，再继续减小n值时，振幅又发生一次跳变到低值，振幅由4一下跳到最低值，同时振动相位又将出现一次反相。”www.ddhw.com
这应该就是最小自转角速度的临界点 声明： 视频中的两个陀螺分别由两个同规格的小光盘构成，其中一个陀螺两个光盘相贴，另一个陀螺两个光盘分离，两个陀螺重心距支点的距离一致，籍此基本保证了重力所引起的力矩相等。 采用了同时加速旋转的手段，以保证两个陀螺自转角速度相等。 试验很粗糙，手工组装，手工操作，误差在所难免，并且不能排除空气的影响。我只能有限地保证两个陀螺相对自转轴转动惯量相等，运行时，所受重力矩以及自转角速度基本相等。 这是我在多次试验中随意选取的一段视频，如果说一两次试验由于误差影响存在偶然性，但是几十上百次的试验都是这个结果，那这个结果应该是可信的。 在实验过程中，将两个陀螺的旋转盘重新组合，即分开的合在一起，合在一起的分开，结果仍然是合在一起的进动快。 |