WXC掷硬币解答 - 珍珠湾ART

假设投掷N次才第一次出现连续三次正面。问N的期望值是多少？

任给一个正反面的序列，问第一次出现这个序列时投掷次数的期望值是多少？

答案与序列的周期性有关。设序列长为n，周期为k，则所求期望值为2^n+2^(n-k)+2^(n-2k)+...，其中最后一项指数>=1。

例：序列为+++时，周期为1，期望值为2^3+2^2+2^1=14。序列+--+-周期为3，期望值为2^5+2^2=36。

严格证明好象都不容易，我这里给一个不严格的，可能都不能算是证明，只能算一个解释。

投掷充分多次以后，同样长度的序列出现次数的概率是一样的，都是每2^n次投掷出现一次。但有周期的序列有可能集中在一起，以+++为例，有一个+++后，有1/2的概率下一个还是+，1/4的概率下两个还是+，所以每一个+++实际上代表1+1/2+1/4=7/4个序列。（再往后的与原始序列无关，所以不算。）也就是说+++序列应该每2^n*（7/4）=14次投掷出现一次。