1）难度：++++
用有限多个不同大小的正方形能否填满一个大正方形？
2）难度：+++
用有限多个不同大小的立方体能否填满一个大立方体？
解答:
2维是可能的。最小解由21个正方形组成。见下图：
三维不可能。首先注意如果一个大正方形由不同大小的小正方形填满，最小的小正方形一定在中间，周围有四个大一点的正方形。因此我们从大正方形的一个面开始，这个面是由不同大小的小正方形填满的。选出最小的小正方形，这个小正方形是一个小立方体（称之为C1）的底面。C1 的上面和C1周围的四个正方形的侧面形成一口井的形状。井底（C1 的上面）又是由不同大小的小正方形填满的。再选出其中最小的小正方形，这个小正方形又是小立方体C2的底面。继续下去，我们得到小立方体的无穷序列 C1，C2，...，这就和有限多个小立方体矛盾。
对“三维不可能”的结论有点不明白。 我们知道，食盐的结晶是立方体。俺相像一个大的食盐颗粒就是由若干个小立方体组成的。 为什么不能“用有限多个不同大小的立方体能否填满一个大立方体”？ |
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