杨辉三角形证明 - 珍珠湾ART

杨辉三角形的第2006行（(a+b)^2005的系数）有多少偶数？多少3的倍数？5的倍数？7的倍数？

对任意素数p，写出模p的杨辉三角形。（p=3和5时如下）www.ddhw.com

　　　　　　　1
　　　　　　　1 1
　　　　　　　1 2 1
　　　　　　　1 0 0 1
　　　　　　1　1　0　1　1
　　　　　1　2　1　1　2　1
　　　　1　0　0　2　0　0　1
　　　1　1　0　2　2　0　1　1
　　1　2　1　2　1　2　1　2　1
　1　0　0　0　0　0　0　0　0　1
1　1　0　0　0　0　0　0　0　1　1www.ddhw.com

　　　　　　　1
　　　　　　　1 1
　　　　　　　1 2 1
　　　　　　　1 3 3 1
　　　　　　1　4　1　4　1
　　　　　1　0　0　0　0　1
　　　　1　1　0　0　0　1　1
　　　1　2　1　0　0　1　2　1
　　1　3　3　1　0　1　3　3　1
　1　4　1　4　1　1　4　1　4　1
1　0　0　0　0　2　0　0　0　0　1

这样的三角形有下列性质：

1）前p行都不是0；
2）第p+1行两边为1，中间都是0；
3）第(p^k)+1行两边为1，中间都是0；
4）对于m前两条容易直接证明，后两条可以用归纳法。

通过这些性质可以得出第n行中非0元素个数的算法：把n-1写成p进数，所有位数加1并相乘。从n里减去这个数就得到p的倍数的个数。

对n=2006, p=2, 3, 5, 7, 有2005=11111010101=2202021=31010=5563。第2006行中偶数有2006-256=1750个，3的倍数有2006-2162=1854个，5的倍数有2006-16=1990个，7的倍数有2006-1008=998个。