最近翻了翻以前的老题，有些还是挺有意思的，值得再出一遍。如果你见过而且还记得答案，就先等一等，给别人一个机会。
魔方
难度：++++
一个 N 阶魔方是 1 到 N^2 这 N^2 个数排成一个 NXN 的正方形，使得任一行，任一列，及两对角线加起来的和都相等。下面是两个例子：
8 | 1 | 6 |
3 | 5 | 7 |
4 | 9 | 2 |
16 | 2 | 3 | 13 |
5 | 11 | 10 | 8 |
9 | 7 | 6 | 12 |
4 | 14 | 15 | 1 |
现在问能不能找到一个方法，可以很容易的写出任意阶的魔方？
I wonder whether we can solve the following equitions to get the result: SUM(Nii)=N*(N^2+1)/2, i from 1 to N Sum(Nij)=N^2*(N^2+1)/2, i and j from 1 to N Sum(Nij)=N*(N^2+1)/2, for fixed i when j changes from 1 to N Sum(Nij)=N*(N^2+1)/2, for fixed j when i changes from 1 to N. Sum (Nij)=N*(N^2+1)/2, here i and j change from 1 to N and satisfy i+j=N. There are N^2 equitions total. Solve this equition group and we can get Nij. |
要加上条件 Nij 各个不同，且都在1与N^2之间，不然 Nij=（N^2+1)/2 就行了。但加了条件就没什么办法求解了。 |
想了一下，没能完全解决，权当抛砖引玉吧。 我们可以先构建一个基本矩阵 A，A(i,j)=(i-1)*N+j. 注意到 A(i,j)+A(N+1-i,N+1-j)=N2+1。我们称 A(i,j) 与 A(N+1-i,N+1-j) 互补。 N 是奇数时比较容易，把 A 的主对角线写成新矩阵 B 的列，再安排 B 每列的次序使 B 的每行是 A 的副对角线。 如果 N=4n，可以采取交换互补数的策略，使新矩阵 B 的每行每列中恰好有 2n 个数是 A 中对应位置的互补数。 如果 N=4n+2, 还没想到怎么办。N=2 时很明显没有解。 |
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